《课时讲练通》2017-2018学年高中数学(人教a版)必修一配套课件:3.2.2.2指数型、对数型函数模型的应用举例
65页1、第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例,类型一 指数型函数模型的应用实例 【典例1】(1)(2017菏泽高一检测)每次用同体积的 水清洗一件衣物,且每次能洗去污垢的 ,若洗x次后存 留的污垢在1%以下,则x的最小值是_.,(2)设在海拔xm处的大气压强是yPa,y与x之间的函数关系式是y=cekx,其中c,k为常量,已知某地某天在海平面的大气压为1.01105Pa,1000m高空的大气压为0.90105Pa,求600m高空的大气压强(结果保留3个有效数字).,【解题指南】(1)根据题意建立指数函数模型求解. (2)根据已有的函数模型,由题中条件先确定c,k,进而可求出600m高空的大气压强.,【解析】(1)每次洗去污垢的 ,就是存留了 ,故洗x 次后,还有原来的 (xN*),故有 100, 解得x的最小值为3. 答案:3,(2)将x=0,y=1.01105,x=1000,y=0.90105分别代入函数式y=cekx, 得 所以c=1.01105, 将c=1.01105代入0.90105=ce1000k, 所以k=,由计算器得k=-1.1510-4, 所以y=1.01105 将x=6
2、00代入上述函数式得 y=1.01105 由计算器算得y=0.943105. 所以600m高空的大气压强约为0.943105Pa.,【方法总结】指数型函数模型在生活中的应用 (1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.,(2)增长率问题多抽象为指数函数形式,当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时,可以通过图象近似求解.用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围,是数学常用的方法之一.,【补偿训练】1.(1)(2017金华高一检测)衣柜里的樟 脑丸,会随着时间挥发而体积缩小,刚放入衣柜的新樟 脑丸体积为a,经过t天后体积与天数t的关系式为 V=ae-kt,若新樟脑丸经过50天后,体积变为 a;若一 个新樟脑丸体积变为 a,则需经过的天数为( ) A.75 B.100 C.125 D.150,(2)某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法.实践表明:礼品价格为1元时,销售量增加10%,且在一定范围
3、内,礼品价格为(n+1)元时,比礼品价格为n(nN*)时的销售量增加10%.设未赠送礼品时销售量为m.,写出礼品价格为n元时,利润yn(元)与n(元)的函数关系式; 请你设计礼品的价格,以使商店获得最大利润.,【解析】(1)选A.根据题意可知 a=ae-50k,所以 =e-50k,所以-50k=ln . 令 a=ae-kt,所以e-kt= ,-kt=ln ,结合式可 知,t= =75,故选A.,(2)当礼品价格为n元时,销售量为m(1+10%)n件,故利润yn=(100-80-n)m(1+10%)n=(20-n) m1.1n(0n20,nN*). 令yn+1-yn0,即(19-n)m1.1n+1-(20-n) m1.1n0,解得n9. 所以y1y2y3y9=y10.,令yn+1-yn+20,即(19-n)m1.1n+1-(18-n) m1.1n+20,解得n8. 所以y9=y10y11y12y13y19. 所以礼品价格为9元或10元时,商店获得最大利润.,2.某城市现在人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题: (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)
4、的函数关系式. (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人). (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).,【解题指南】解决这类题的关键是根据题意建立函数模型.解题流程为“审、设、列、解、答”,即审题设未知量列出函数关系式求解作答.在求解过程中要注意所设未知量的实际意义.,【解析】(1)1年后该城市人口总数为y=100+100 1.2%=100(1+1.2%). 2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100 (1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2.,3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100 (1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3. 故x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x.,(2)10年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)10=100 1.01210112.7(万人). (3)设大约n年后该城市人口将达到120万人, 即100(1+1.2%)n120, nlog1.012 =log1.0121.2015.3. 故大约16年以后该城市人口将达到120万人.,类型二 对数函数模型的应
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