《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教a版）必修一配套课件：1.2.2.2分段函数及映射

第2课时 分段函数及映射,主题1 分段函数 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5千米以内(含5千米),票价2元. (2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米的按5千米计算).,已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米,沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站. 请根据以上内容,回答下面的问题:,1.从起点站出发,公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)间的函数关系是什么? 提示:当0x5时,y=2;当5x10时,y=3, 故y=,2.这种函数关系的特征是什么? 提示:函数关系式是分段呈现的.,结论:分段函数的定义 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值范围,函数有着不同的对应关系的函数.,【微思考】 1.分段函数的定义域、值域与每段的定义域、值域有何关系? 提示:分段函数的定义域是每段定义域的并集. 分段函数的值域是每段值域的并集.,2.分段函数有几段就是几个函数吗? 提示:不是,分段函数是一个函数,而不是几个函数,只不过是在定义域不同子集上其解析式不同而已.,主题2 映射 观察下面的对应,它们有何共同特点?,提示:对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素与之对应.,结论:映射的定义 设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射.,【微思考】 1.从集合A到集合B的映射中,它们中元素的对应特点是什么? 提示:可以是一对一,也可以是多对一,但不可以是一对多.,2.当一个映射满足什么条件时为函数? 提示:当集合A,集合B非空且为数集时,映射为函数.,【预习自测】 1.已知映射f:AB,对任意xA,则B中与x对应的元素有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【解析】选B.根据映射的定义,对于A中任意一个元素,在集合B中都有唯一的元素与之对应.,2.下列对应是从集合A到集合B映射的是 ( ) A=N,B=N*,f:x|x|;A=N,B=N*,f:y=|x-1|; A=B=1,f:xx2; A=1,2,3,4,5,B=1,7,17,31,49,f:y=2x2-1. A. B. C. D.,【解析】选C.A中元素0在集合B中无元素与之对应,故不是映射;A中元素1在B中无元素与之对应,故不是映射;符合定义,是映射;中x=1,2,3,4,5时,y分别是1,7,17,31,49,符合定义,是映射.,3.已知f(x)= 则f(f(2)=_. 【解析】f(2)=-2+3=1,所以f(f(2)=f(1)=1+1=2. 答案:2,4.已知A=1,2,3,9,B=R,从集合A到集合B的映射f:x . (1)与A中元素1相对应的B中的元素是_. (2)与B中元素 相对应的A中的元素是_.,【解析】(1)因为x=1,所以相对应B中的元素为 (2)由 得x=4. 答案:(1) (2)4,类型一 分段函数的求值 【典例1】(2017·吉林高一检测)函数f(x)= 则 的值为_.,【解题指南】先求 ，再求 . 【解析】f(3)=32-3-3=3，所以 所以 答案：,【延伸探究】 1.本例条件不变,求f(a)的值. 【解析】当a1时,f(a)=1-a2, 当a1时,f(a)=a2-a-3.,2.本例若增加条件f(a)+f(-1)=3,求a的值. 【解析】因为-11时,f(a)+f(-1)=a2-a-3=3, 即a2-a-6=0,所以a=3或a=-2(舍). 所以a=3.,【方法总结】 1.求分段函数值的方法 先确定要求值的自变量属于哪一段,然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.特别地,当出现f(f(x0)的形式时,应从内到外依次求值.,2.已知函数值求字母的值的四个步骤 (1)讨论:对字母的取值范围分类讨论. (2)代入:由不同取值范围,代入对应的解析式中. (3)求解:通过解方程求出字母的值. (4)检验:检验所求的值是否在所讨论的区间内.,【补偿训练】1.已知函数f(x)= 若f(x)=3,则x= ( ) A. B.9 C.-1或1 D.,【解析】选A.当x0时,由x+2=3,得x=1,不符合题意; 当0x3时,由x2=3,得x= 或x=- (舍去), 故x= .,2.已知函数f(x)= 则f(1)-f(3)=( ) A.-2 B.7 C.27 D.-7 【解析】选B.f(1)=f(1+3)=f(4)=42+1=17, f(3)=32+1=10,所以f(1)-f(3)=7.,类型二 分段函数的图象及应用 【典例2】已知函数f(x)=1+ (-2x2). (1)用分段函数的形式表示函数f(x). (2)画出函数f(x)的图象. (3)写出函数f(x)的值域.,【解题指南】先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,再用描点法作出函数图象,由图求值域.,【解析】(1)当0x2时,f(x)=1+ =1, 当-2x0时,f(x)=1+ =1-x, 所以f(x)=,(2)函数f(x)的图象如图所示:,(3)由(2)知,f(x)在(-2,2上的值域为1,3).,【方法总结】作分段函数图象的方法 作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不考虑范围的限制,作出其图象,再保留对应范围内的一段图象即可,作图时要特别注意衔接点处点的虚实,保证不重不漏.,【巩固训练】 1.(2017·周口高一检测)下列图象是函数y= 的图象的是 ( ),【解析】选C.当x0时,y=x2,为抛物线y=x2在y轴左侧的部分,当x0时,y=x-1,为射线且与y轴交于(0,-1).,2.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交 通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米 /小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的 车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度 为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千 米/小时,研究表明:当20x200时,车流速度v是车流,密度x的一次函数.当0x200时,求函数v(x)的表达式.,【解析】由题意,当0x20时,v(x)=60; 当20x200时,设v(x)=ax+b. 故函数v(x)的表达式为,【补偿训练】1.已知函数f(x)= 则函数f(x)的图象是 ( ),【解析】选A.当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错; 当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错; 当x=1时,y=2,图象过(1,2),B错.,2.已知函数f(x)= 若f(a)-3,则a的取值范围是_.,【解析】当a-2时,f(a)=a-3,解集为(-,-3); 当-2a4时,f(a)=a+1-3,此时无解; 当a4时,f(a)=3a-3,此时无解. 所以a的取值范围是(-,-3). 答案:(-,-3),类型三 映射的概念及应用 【典例3】(1)(2017·重庆高一检测)设集合A=x|1x2,B=y|1y4,则下述对应关系f中,不能构成A到B的映射的是 ( ) A.f:xy=x2 B.f:xy=3x-2 C.f:xy=-x+4 D.f:xy=4-x2,(2)(2017·吉安高一检测)已知集合A=B=R,xA, yB,f:xy=ax+b,若6和9在f作用下分别与4和10对应,则19在f作用下与_对应.,【解题指南】(1)根据映射的定义,判断A中的每一个元素在对应关系f的作用下,在集合B中是否都有唯一的元素与之对应. (2)根据6和9在f作用下与4和10对应,建立关于a,b的方程组,求出y=ax+b的解析式,再将x=19代入可解y的值.,【解析】(1)选D.f:xy=x21,4; f:xy=3x-21,4; f:xy=-x+42,3 1,4;f:xy=4-x20,3. (2)由题意可得 解得 所以y=2x-8, 当x=19时,y=30. 答案:30,【方法总结】判断一个对应是不是映射的方法 判断一个对应是不是映射,看两点: (1)任意性:集合A中任一元素在B中都有元素与之对应. (2)唯一性:对应应是多对一或一对一.,【巩固训练】 1.下列各个对应中,构成映射的是 ( ),【解析】选B.对于A,M中元素2在N中无元素与之对应;对于C,D,M中有一个元素与N中两个元素对应,不符合映射的概念,故选B.,2.下列对应是不是从A到B的映射? (1)A=R,B=1,f:xy=1. (2)A=-1,1,B=-1,1,f:xx2+y2=1.,【解析】(1)集合A中的每一个数都与B中的数1对应,因此是A到B的映射. (2)取x=0A,则由x2+y2=1,得y=±1, 即A中的元素0与B中的两个元素±1对应,因此该对应不是从A到B的映射.,【补偿训练】1.(2017·惠阳高一检测)下列分别为集 合A到集合B的对应.其中,是从A到B的映射的是( ),A.(1)(2) B.(1)(2)(3) C.(1)(2)(4) D.(1)(2)(3)(4),【解析】选A.映射关系中可以是一对一的关系,可以是多对一的关系,不能是一对多的关系,因此(1)(2)构成映射关系.,2.a,b为实数,集合A= ,B=a,0,f:x2x表示把集合A中的元素x映射到集合B中为2x,求a+b的值.,【解析】由题意,A中的元素1只能对应集合B中的a,故 a=2,所以B=2,0,而A中的 可能对应B中的2或0.当 对应2时, =1,此时A中有两个相同元素,不合题意. 当 对应0时,应有 =0,则b=0,此时A=0,1,符合题 意.综上,a=2,b=0,a+b=2.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 映射的判断方法 (1)在A中取元素的任意性. (2)在B中对应元素的唯一性.,注意事项 (1)分段函数是一个函数,而不是几个函数. (2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.,