《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教a版）必修一配套课件：1.3习题课——函数的基本性质

习题课 函数的基本性质,类型一 利用奇偶性求函数解析式 【典例1】(1)若函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)= ,则f(x)=_. (2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=x2-2x+1,求f(x)的解析式.,【解题指南】(1)根据f(x),g(x)的奇偶性,以-x代替x列方程组求解. (2)由x0时,f(x)=x2-2x+1,当x0代入解析式,再利用奇函数的定义求出x0的解析式,由f(0)=0,得出f(x)在R上的解析式.,【解析】(1)因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, f(x)-g(x)= , 所以f(-x)-g(-x)= , 所以 解得f(x)= . 答案:,(2)当x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1, 因为f(x)是奇函数, 所以f(x)=-f(-x),所以x0时, f(x)=-x2-2x-1, 故f(x)=,【方法总结】根据函数奇偶性求解析式的三个步骤 (1)设:要求哪个区间的解析式,x就设在哪个区间里. (2)代:利用已知区间的解析式代入进行推导. (3)转:根据f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x). 提醒:利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域,特别是x=0的情况.,【巩固训练】1.f(x)为R上的奇函数,当x0时, f(x)=-2x2+3x+1,求f(x)的解析式. 【解题指南】当x0,代入解析式,再利用f(x)为奇函数,求得解析式.,【解析】当x0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1= -2x2-3x+1,由于f(x)是奇函数, 故f(-x)=-f(x),所以f(x)=2x2+3x-1, 即当x0时,f(x)=2x2+3x-1, 又f(x)为R上的奇函数,故f(0)=0.,所以f(x)=,2.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)= x3+x+1,求f(x)的解析式.,【解析】设x0,则-x0, 由题意知f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1. 又因为f(x)为偶函数, 所以f(-x)=f(x),所以f(x)=-x3-x+1, 故f(x)的解析式为f(x)=,类型二 利用奇偶性、单调性比较大小 【典例2】(1)若偶函数f(x)的定义域为R,当x0,+) 时,f(x)是增函数,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是 _.(用“”连接) (2)(2017·长春高一检测)f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函 数,则f(-1),f(- ),f( )的大小关系为_.(用 “”连接),【解题指南】(1)利用f(x)为偶函数,将自变量转化到同一单调区间判断. (2)先由f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,确定m的值,从而得出f(x)的解析式,再根据f(x)的单调性比较三个值的大小.,【解析】(1)因为f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2), f(-3)=f(3),又当x0时,f(x)是增函数, 所以f(2)f(-3)f(-2),(2)因为f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,所以有f(-x)= f(x),即(m-1)(-x)2+2m(-x)+3=(m-1)x2+2mx+3, 所以4mx=0恒成立,所以m=0,因此f(x)=-x2+3, 又f(x)=-x2+3在(-,0上为增函数, 故f(- )f(- )f(-1),又f( )=f(- ). 所以f( )f(- )f(-1). 答案:f( )f(- )f(-1),【方法总结】利用奇偶性和单调性比较大小的三个步骤 (1)判断:判断所给函数的奇偶性以及给定区间内的单调性. (2)转化:根据奇偶性将自变量的值转化到同一个单调区间内. (3)确定:根据函数的单调性,比较函数值的大小.,【巩固训练】1.(2017·武汉高一检测)函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)单调递减.则下列各式成立的是 ( ) A.f(1)f(2) C.f(-2)f(3) D.f(2)f(0),【解析】选C.函数f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2),当x0时,f(x)单调递 减,所以f(0)f(2),f(1)f(3),f(2)f(3),所以f(-2) f(3).,2.设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数,若x1+x20,x2+x30,x3+x10,则 ( ) A.f(x1)+f(x2)+f(x3)0 B.f(x1)+f(x2)+f(x3)f(x3),【解析】选B.因为x1+x20,所以x1-x2, 又因为f(x)是定义在R上单调递减的奇函数, 所以f(x1)-f(x2),所以f(x1)+f(x2)0, 同理,可得f(x2)+f(x3)0,f(x1)+f(x3)0, 所以2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)0, 所以f(x1)+f(x2)+f(x3)0.,【补偿训练】若函数f(x)是R上的偶函数,且在0,+) 上是减函数,则满足f()f(a)的实数a的取值范围是_.,【解析】若a0,f(x)在0,+)上是减函数, 且f()-,即-a0. 由上述两种情况知a(-,). 答案:(-,),类型三 利用奇偶性和单调性解不等式 【典例3】(2017·岳阳高一检测)若定义域为R的偶函数f(x)在0,+)上是增函数,且f(1)=0,求不等式f(x)0的解集. 【解题指南】由f(x)为偶函数,且在0,+)上是增函数,可得f(-x)=f(x),且f(x)在(-,0上是减函数,最后利用单调性解不等式.,【解析】若定义域为R的偶函数f(x)在0,+)上是增函数,则f(x)在(-,0上是减函数,且f(-x)=f(x),因为f(1)=0,所以f(-1)=f(1)=0,综上当x-1或x1时,f(x)0,即f(x)0的解集为x|x-1,或x1.,【延伸探究】 1.若本例中的“偶函数”改为“奇函数”,“f(1)=0”改为“f(1-m)f(m)”,求m的取值范围.,【解析】因为f(x)是奇函数且在0,+)上是增函数,所以f(x)在(-,0)上也是增函数,故由f(1-m) .,2.本例中条件不变,求x·f(x)0的解集. 【解析】因为f(x)为R上的偶函数,所以f(-1)=f(1)=0, 又f(x)在0,+)上是增函数,所以f(x)在(-,0上为 减函数.x·f(x)0 即 所以x-1或0x1. 所以不等式x·f(x)0的解集为x|x-1,或0x1.,【方法总结】利用奇偶性与单调性解抽象不等式的四个步骤 (1)转化:利用奇偶性转化成f(M)f(N)的形式. (2)确定:确定函数的单调性. (3)去“f”:去掉“f”,转化为MN或MN的形式. (4)求解:解不等式(组).,提醒:在利用单调性解不等式时,要注意定义域的限制,以保证转化的等价性.,【补偿训练】1.设定义在-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.,【解析】因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是减函数, 所以f(x)在-2,2上是减函数, 所以不等式f(1-m)f(m)等价于 解得-1m .,2.已知函数f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且单调递减,若a满足f(1+a)+f(2+3a)0,求实数a的取值范围.,【解析】因为定义域为-1,1,所以 解得 即-1a- . 因为f(x)是奇函数,且a满足f(1+a)+f(2+3a)0,所以f(1+a)-f(2+3a)=f(-2-3a). 因为f(x)在定义域上单调递减,所以1+a-2-3a,即a- 由得- a- .,