2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：2.3.4平面向量共线的坐标表示

2.3.4 平面向量共线的坐标表示,平面向量共线的坐标表示 条件:a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0, 结论:abx1y2-x2y1=0.,【点拨】两个向量共线条件的三种表示方法 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)当b0时,a=b. 这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.,(2)x1y2-x2y1=0. 这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”,从而减少未知数的个数,而且使问题的解决具有代数化的特点,程序化的特征.,(3)当x2y20时, 即两向量的相应坐标成比例,通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.,【自我检测】 1.向量a=(m,n),b=(p,q),若ab,则下列关系成立的是( ) A.mp-nq=0 B.mq+np=0 C.mq-np=0 D.mp+nq=0 【解析】选C.由向量平行的坐标表示可知选C.,2.与向量a=(12,-5)平行的单位向量为 ( ) 【解析】选C.|a|=13,故与a平行的单位向量为 a或 - a,3.已知向量a=(1,2),b=(x,4),若向量ab,则x=( ) A.2 B.-2 C.8 D.-8 【解析】选A.因为向量a=(1,2),b=(x,4),向量ab, 则4-2x=0,x=2.,4.已知a=(4,2),b=(6,y),且ab,则y=_. 【解析】由ab,得4y-12=0,解得y=3. 答案:3,5.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则y=_. 【解析】 =(-8,8), =(11,y-2),则 所以-8(y-2)-8×11=0,解得y=-9. 答案:-9,类型一 向量共线的判定 【典例】1.(2018·厦门高一检测)下列各对向量中,共线的是( ) A.a=(2,3),b=(3,-2) B.a=(2,3),b=(4,-6) C.a=( ,-1),b=(1, ) D.a=(1, ),b=( ,2),2.在下列向量组中,可以把向量a=(-3,7)表示出来的 是 ( ) A.e1=(0,1),e2=(0,-2) B.e1=(1,5),e2=(-2,-10) C.e1=(-5,3),e2=(-2,1) D.e1=(7,8),e2=(-7,-8),【审题路线图】1.向量是否共线利用向量共线坐标表示或a=b验证. 2.判断e1,e2是否共线不共线则能表示向量a.,【解析】1.选D.由向量共线的充要条件可知:非零向量 a与b共线,当且仅当存在唯一实数,使得b=a.而只 有D满足:因为a=(1, ),b=( ,2),所以b= a.,2.选C.平面内不共线的两个向量可以作基底,用它能表示此平面内的任何向量, 因为A,B,D都是两个共线向量,而C不共线,故C可以把向量a=(-3,7)表示出来.,【方法技巧】向量共线的判定方法,【变式训练】下列各组向量中相互平行的是 ( ) A.a=(-1,2),b=(3,5) B.a=(1,2),b=(2,1) C.a=(2,-1),b=(3,4) D.a=(-2,1),b=(4,-2),【解析】选D.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),aba1b2-a2b1=0. 对于A,2×3+1×50,A不平行; 对于B,2×2-1×10,所以B不平行. 对于C,-1×3-2×40,所以C不平行. 对于D,1×4-(-2)×(-2)=0,所以D平行.,【补偿训练】 下列各组向量中不平行的是_(填序号). a=(1,2),b=(-2,-4);c=(1,0),d=(-3,0); e=(2,3),f=(0,1);g=(3,5),h=(24,40).,【解析】因为b=-2a,所以b与a平行; 因为d=-3c,所以d与c平行; 因为e=(2,3),f=(0,1),并且ef,所以e与f不平行; 因为g=(3,5),h=(24,40),所以g= h,所以g与h平行. 答案:,类型二 三点共线问题 【典例】1.(2018·商丘高一检测)若A,B,C,D四点共线,且满足 =(3a,2a)(a0), =(2,t),则t= ( ) A. B. C.3 D.-3,2.(2018·西城高一检测)在平面直角坐标系xOy中,向 量 =(-1,2), =(2,m),若O,A,B三点能构成三角形, 则 ( ) A.m=-4 B.m-4 C.m1 D.mR,【审题路线图】1.四点共线向量共线坐标表示求值. 2.三点能构成三角形向量不共线坐标表示不成立求范围.,【解析】1.选B.因为A,B,C,D四点共线, 且 =(3a,2a)(a0), =(2,t), 所以 所以3a·t-2·2a=0,解得t= 2.选B.因为O,A,B三点能构成三角形, 所以 不共线,所以4+m0,解得m-4.,【方法技巧】三点共线的判断 (1)判断三个点共线时,先由三个点中的任意两个点分别组成两个向量,再判断这两个向量共线即可;若已知三个点共线,同样的方法利用两个向量共线列出方程求值.,(2)判断多个点中的三个点共线时,先根据向量运算构造关于这三个点的两个向量,再利用向量共线的坐标表示列式.,【变式训练】若P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)三点共线,则x=_. 【解析】 =(1,-5), =(x-1,-10), 由题意:1×(-10)+5×(x-1)=0, 所以-10+5x-5=0,故x=3. 答案:3,【补偿训练】已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A,B,C三点之间的位置关系. 【解析】因为 =(2,4), =(3,6),2×6-3×4=0, 所以向量 共线,故A,B,C三点共线.,类型三 利用向量共线的坐标表示求参数 【典例】1.已知向量a=(2,m+1),b=(m+3,4),且(a+b)(a-b),则m= ( ) A.1 B.5 C.1或-5 D.-5,2.已知向量a=(2,6),b=(-1,),若 ab,则=_ 3.(2018·武昌高一检测)已知点P(-1,2),线段PQ的中 点M的坐标为(1,-1).若向量 与向量a=(,1)共线, 则=_.,【审题路线图】根据向量共线求坐标中的参数向量共线充要条件的坐标表示.,【解析】1.选C.向量a=(2,m+1),b=(m+3,4),且(a+b)(a-b), 所以a+b=(m+5,m+5),a-b=(-m-1,m-3), 所以(m+5)(m-3)-(-m-1)(m+5)=0, 即(m+5)(m-1)=0, 解得m=1或m=-5.,2.由题意知-6=2, 所以=-3. 答案:-3,3.点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1), 所以向量 =2(1-(-1),-1-2)=(4,-6), 又因为 与向量a=(,1)共线, 所以4×1+6=0, 解得=- . 答案:-,【延伸探究】 1.本例1中,若a+b,a-b反向,则m=_. 【解析】当m=-5时,a+b=(0,0),零向量的方向是任意的,与题意不符,舍去,故m=1. 答案:1,2.本例1中是否存在实数m,使向量a,b共线,若存在,求出m值;若不存在,请说明理由. 【解析】假设存在实数m使向量a,b共线,则8-(m+1)(m +3)=0,即m2+4m-5=0,解得m=1或m=-5,故存在实数1或-5使向量a,b共线.,【方法技巧】利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用共线向量定理a=b(b0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解. 提醒:当两向量中存在零向量时,无法利用坐标表示求值.,【补偿训练】已知非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1, -2)平行,则实数m的值为 ( ) A.-1或 B.1或- C.-1 D.,【解析】选D.非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1,-2)平行,所以-2(m2-1)-1×(m+1)=0, 解得m= 或m=-1(不合题意,舍去); 所以实数m的值为 .,【核心素养培优区】 【易错案例】共线向量的坐标表示 【典例】如果向量a=(-k,-1)与b=(4,k)共线且方向相反,则k= _.,-2,【失误案例】因为向量a=(-k,-1)与b=(4,k)共线,所以-k2+4=0,解得k=±2, 因为两向量方向相反,所以k=-2.,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:出错的根本原因是对向量共线定理b=a理解不透,误认为向量反向时,参数k的值应该为负值,实质应是的值为负值.,【自我纠正】因为向量a=(-k,-1)与b=(4,k)共线, 所以k2-4=0, 解得k=±2, 当k=-2时,b=2a,此时a与b方向相同,不符合题意,应舍去,因此k=2. 答案:2,