2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：2.1平面向量的实际背景及基本概念

第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念,1.向量的定义及表示 (1)定义:既有_,又有_的量. (2)表示: 有向线段:带有_的线段,它包含三个要素:_、 方向、长度;,大小,方向,方向,起点,向量的表示:,长度,2.特殊向量,相同,相同或相反,其中,向量a与向量b平行,记作_,规定零向量与任 意向量_.,ab,平行,【点拨】 (1)理解向量概念应关注的两点 本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移; 向量与向量之间不能比较大小.,(2)相等向量 任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量,因为向量完全由它的方向和模确定.,(3)共线向量与平行向量 平行向量也称为共线向量,两个概念没有区别; 共线向量所在直线可以平行,与平面几何中的共线不同; 平行向量可以共线,与平面几何中的直线平行不同.,【自我检测】 1.有下列物理量:质量;温度;角度;弹力;风速.其中可以看成是向量的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】选B.因为质量、温度、角度只有大小,没有方向,所以他们不是向量,而弹力、风速既有大小,又有方向,所以它们可以看成向量.,2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是 ( ) A.也可以用 表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 【解析】选D.终点是N而不是M.,3.设O为等边三角形ABC的中心,则向量 是 ( ) A.有相同起点的向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.相等向量,【解析】选C.如图所示, O是等边ABC的中心, 所以向量 的模相等.,类型一 向量的有关概念、零向量、单位向量 【典例】1.下列各量中是向量的是 ( ) A.时间 B.加速度 C.面积 D.长度,2.给出下列命题: (1)零向量没有方向; (2)向量 的长度和向量 的模相等; (3)若单位向量的起点相同,则终点相同. 其中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0,【审题路线图】1.向量的特征方向、大小判断. 2.审清题意向量的相关概念判断命题的真假. 【解析】1.选B.加速度是既有大小又有方向的量,是向量,而时间、面积、长度是只有大小的量,是数量.,2.选A.零向量不是没有方向,而是方向任意.向量 与 的起点、终点互换,故长度相等.因为单位向量的方 向任意,起点相同,终点不一定相同.,【方法技巧】 1.判断一个量是否为向量的两个关键条件 关键看它是否具备向量的两要素: (1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.,2.理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等. (2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向. 提醒:两个单位向量的长度相等,但这两个单位向量不一定相等.,【变式训练】汽车以100km/h的速度向东行驶2 h,而摩托车以50 km/h的速度向南行驶2 h.则关于下列说法: 汽车的速度大于摩托车的速度; 汽车的位移大于摩托车的位移; 汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程. 其中正确的个数是 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,【解析】选B.向量不能比较大小,速度、位移是向量.数量可以比较大小,所以只有正确.,【补偿训练】 在边长为1的正方形ABCD中,| |=_. 【解析】由于AC= ,则| |= . 答案:,类型二 相等向量与共线向量 【典例】1.下列说法正确的是 ( ) A.若向量a,b共线,则向量a,b的方向相同 B.若ab,bc,则ac C.向量 与向量 是共线向量,则A,B,C,D四点在一 条直线上 D.若a=b,b=c,则a=c,2.如图,四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分 后,共有16个交点,从中选取两个交点作为向量,则与 平行且长度为2 的向量个数有_个.,【审题路线图】1.向量共线的定义、规定方向相同、相反,零向量的规定判断. 2.向量相等、平行的条件判断是否符合条件或根据条件解题.,【解析】1.选D.对于A,向量a,b共线时,向量a,b的方 向相同或相反,故命题错误;对于B,ab,bc时,则 ac在b=0时不一定成立,故命题错误;对于C,向量 与向量 是共线向量,则A,B,C,D四点不一定在一条直 线上,如平行四边形ABDC中, = ,故命题错误;对于 D,当a=b,b=c时,a=c,命题正确.,2.如图所示,满足与 平行且长度为2 的向量有 共8个, 答案:8,【延伸探究】 1.本例2中,与向量 同向且长度为2 的向量有几个? 【解析】与向量 同向且长度为2 的向量占与向量 平行且长度为2 的向量中的一半,共4个.,2.本例2中,如图,与向量 相等的向量有多少个?,【解析】图中每个小正方形的对角线所在的向量中,与 向量 方向相同的向量与其相等,共有8个.,【方法技巧】相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.,(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量. 提醒:与向量平行相关的问题中,不要忽视零向量.,【补偿训练】如图,四边形ABCD中, 则相等的向量是 ( ),【解析】选D.因为四边形ABCD中, 所以四边形 ABCD是平行四边形,所以只有D选项 正确.,类型三 向量的几何表示及应用 【典例】1.如图所示,已知AD=3,B,C是线段AD的两个三等分点,分别以图中各点为起点和终点,长度大于1的向量的个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,2.一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点,然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达D点. (1)作出向量 .(2)求| |.,【审题路线图】1.找出长度为2和3的线段规定方向后确定向量个数. 2.作出平面直角坐标系利用汽车行驶的方向、路程作出A,B,C,D各点作出向量并求出模的大小.,【解析】1.选D.根据题意可得:模等于2的向量有 模等于3的向量有 .故图中长度 大于1的向量共有6个.,2.(1)如图所示.,(2)由题意,易知 方向相反,且 与 共线即 又 所以四边形ABCD为平行四边形. 所以 =200千米.,【方法技巧】用有向线段表示向量的方法 (1)用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点. (2)必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量.,【变式训练】某人从A点出发向东走了5米到达B点,然 后改变方向沿东北方向走了10 米到达C点,到达C点 后又改变方向向西走了10米到达D点. (1)作出向量 (2)求向量 的模.,【解析】(1)作出向量 ,如图所示:,(2)由题意得,BCD是直角三角形,其中BDC=90°, BC=10 米,CD=10米,所以BD=10米.ABD是直角三角 形,其中ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD= (米).所以 米.,【补偿训练】在如图所示的坐标纸中,每个小方格的边长为1,用直尺与圆规画出下列向量. (1)| |=3,点A在点O的正东方向. (2)| |=3,点B在点O的正西方向.,【解析】(1)(2)如图所示:,【核心素养培优区】 【易错案例】向量相等概念的应用 【典例】若 则下列结论一定成立的是( ) A.四边形ABCD为平行四边形 B.A与C重合,B与D重合 C. D.A,B,C,D四点共线,A或D,【失误案例】案例1.在四边形ABCD中,由 可知 AB CD,故四边形ABCD为平行四边形,故选A. 案例2.由 可知向量 共线,故A,B,C,D四 点共线,故选D.,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题出错的原因是对向量平行或共线的概念认识不清,与直线的平行或共线混淆,实际上向量平行时,表示向量的线段可能共线,向量共线时,表示向量的线段可能平行,向量平行或共线概念的核心是方向,要把握清楚.,【自我纠正】选C.因为 所以 ,C正确, 相等,A,B,C,D四点可能在一条直线,也可能 ABCD,点A与C,B与D不能确定位置关系,故A,B,D均错误.,