2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：1.2.1任意角的三角函数（一）
1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一),1.任意角的三角函数的定义 在单位圆中,是任意一个角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),如图所示:,则有sin=_;cos=_;tan=_.,y,x,2.三角函数值的符号 如图所示:,正弦_正,_负;余弦_正, _负;正切_正,_负.,一、二,三、四,一、四,二、三,一、三,二、四,3.终边相同的角的同一三角函数的值 (1)终边相同的角的同一三角函数的值_. (2)公式: sin(+k·2)=_,cos(+k·2)=_, tan(+k·2)=_,kZ.,相等,sin,cos,tan,【点拨】(1)三角函数的定义 三角函数是一种函数,它满足函数的定义,可以看成是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应. 三角函数是用比值来定义的,所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围.,三角函数是比值,是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角的终边位置决定,即三角函数值的大小只与角有关. (2)诱导公式(一) 实质:是说终边相同的角的三角函数值相等.即角的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次.,结构特征:左、右为同一三角函数;公式左边的角为+k·2,右边的角为. 作用:把求任意角的三角函数值转化为求02(或0°360°)角的三角函数值.体现了“大化小”“负化正”的数学思想.,【自我检测】 1.已知角的终边经过点(-4,3),则cos= ( ) 【解析】选D.由条件知:x=-4,y=3,则r=5, 所以cos=,2.sin225°的值为 ( ) 【解析】选A.由于225°是第三象限角,且终边与单位 圆的交点为 所以sin225°=,3.已知sin= ,cos=- ,则角所在的象限 是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解析】选B.由sin= 0得角的终边在第一或 第二象限;由cos=- 0得角的终边在第二或 第三象限. 综上,角所在的象限是第二象限.,4.sin =_. 【解析】sin = 答案:,5.角终边与单位圆相交于点M , 则cos+sin的值为_. 【解析】cos=x= ,sin=y= , 故cos+sin= 答案:,类型一 三角函数的定义及应用 【典例】1.如果角的终边经过点 则sin=_,cos=_,tan=_. 2.已知角的终边上有一点P(x,3)(x0),且cos= x,则sin+tan的值为_.,3.已知点M是圆x2+y2=1上的点,以射线OM为终边的角 的正弦值为- ,求cos和tan的值.,【审题路线图】1.求sin,cos,tan的值rsin= ,cos= ,tan= . 2.求sin+tan的值rxcos= . 3.求cos,tan的值sin=- M 是圆上的点r=1.,【解析】1.由题意知r=|OP|= 所以sin= cos= tan= 答案:,2.因为 又x0,所以x=±1,所以r= .又y=30, 所以是第一或第二象限角. 当为第一象限角时,sin= ,tan=3; 则sin+tan=,当为第二象限角时,sin= ,tan=-3. 则sin+tan= 答案:,3.设点M的坐标为(x1,y1). 由题意可知, 因为点M在圆x2+y2=1上, 所以 解得 所以cos= ,tan=-1,或cos=- ,tan=1.,【延伸探究】 1.若本例1中的条件变为“已知角的终边落在直线y=2x上”,则sin,cos,tan的值如何?,【解析】当角的终边在第一象限时,在角的终边上取 点P(1,2),由r=|OP|= ,得,当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点Q(-1,-2), 由r=|OQ|= 得: sin= tan=,2.若本例1变为“已知角的终边过点P(-3m,m) (m0),”则sin的值如何?,【解析】由题意可得:|OP|= 当m0时,|OP|= 则sin= 当m0时,|OP|= 则sin=,【方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角的终边在直线上求的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种: 先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.,注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处 理,取射线上任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值 sin= ,余弦值cos= (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.,提醒:利用三角函数的定义,求一个角的三角函数,需要确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意,点的坐标含有参数时,应分类讨论.,【补偿训练】 1.(2018·临海高一检测)若角的终边上有一点 (0,-1),则tan的值是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.不存在,【解析】选D.因为角的终边上有一点(0,-1),所以角的终边落在y轴的负半轴上,其正切值不存在.,2.(2018·鹰潭高一检测)已知角的终边在直线 y= x上,求的三角函数值.,【解析】设P(a, a)(a0)是其终边上任一点, 则tan= ,r= =2|a|, 当a0时,sin= ,cos= 当a0时,sin= ,cos= 所以tan= ,sin= ,cos= ,或 tan= ,sin=- ,cos=- .,3.角的终边上有一点P(a,4),且tan= , 求3sin-2cos的值.,【解析】因为tan= ,所以a=3, 所以r= =5,sin= ,cos= , 所以3sin-2cos=,类型二 三角函数值符号的运用 【典例】1.(2018·扬州高一检测)若tan0,sin0, 则为第_象限角. 2.确定下列式子的符号: (1)tan125°·sin273°. (2) (3)tan 191°-cos191°.,【审题路线图】1.判断所在象限tan0,sin0. 2.判断符号角所在的象限.,【解析】1.tan0,则为第一或第三象限角,sin0,则为第三或第四象限角或终边落在y轴的负半轴上,所以为第三象限角. 答案:三,2.(1)因为125°角是第二象限角,所以tan125°0,式子符号为正.,(2)因为 是第三象限角, 是第二象限角, 是 第四象限角,所以sin 0,cos191°0,式子符号为正.,【延伸探究】 在本例1中若将“tan0,sin0”,则角应为第_象限的角.,【解析】由tan0,则为第一或第二象限角或终边落在y轴的正半轴上,所以为第二象限角. 答案:二,【方法技巧】确定三角函数值在各象限内的符号的方法 (1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义,由各象限内的点的坐标的符号得出的. (2)口诀记忆:“一全正,二正弦、三正切、四余弦”,即第一象限全是正值,第二象限正弦值是正值,第三象限正切值是正值,第四象限余弦值是正值.,【拓展延伸】正弦函数、余弦函数值的正负规律,【变式训练】1.若三角形的两内角,满足sin·cos0,则此三角形必为 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能,【解析】选B.三角形的两内角,的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上,sin·cos0,cos0,所以角为钝角,此三角形为钝角三角形.,2.已知角的终边过点(3a-9,a+2)且cos0, sin0,则实数a的取值范围是_. 【解题指南】先确定角的终边的位置,然后列出不等式组求a的取值范围.,【解析】因为cos0,sin0, 所以角的终边在第二象限或y轴非负半轴上, 因为终边过(3a-9,a+2), 所以 所以-2a3. 答案:-2a3,类型三 诱导公式(一)的应用 【典例】1.计算: (1)cos =_.(2)tan =_. 2.(2018·邵武高一检测)求值: (1)tan405°-sin450°+cos750°. (2),【审题路线图】1. 诱导公式; 诱导公式. 2.求值化角诱导公式.,【解析】1. 答案:(1) (2),2.(1)原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°) +cos(2×360°+30°) =tan45°-sin90°+cos30°=1-1+ (2)原式=,【方法技巧】利用诱导公式(一)进行化简求值的步骤 (1)定形:将已知的任意角写成2k+的形式,其中0,2),kZ. (2)转化:根据诱导公式,转化为求角的某个三角函数值. (3)求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值.,【拓展延伸】诱导公式(一)的应用策略 (1)公式可以统一写成f(k·360°+)=f()或f(k·2+)=f()(kZ)的形式,实质是终边相同的角的三角函数值相等.,(2)利用它可把任意角的三角函数值转化为02角的三角函数值,即可把负角的三角函数化为0到2间的三角函数,亦可把大于2的角的三角函数化为0到2间的三角函数,即把角实现大化小,负化正的转化.,【变式训练】设f(x)=sin x,求f(1)+f(7)的值. 【解析】f(1)+f(7)= =2sin,【补偿训练】求下列各式的值: (1) (2),【解析】(1)原式= (2)原式=,【核心素养培优区】 【易错案例】任意角的三角函数定义的应用 【典例】角的终边经过点P(x,4),且cos= , 则sin=_.,【失误案例】点P(x,4)到原点的距离 由cos= ,得 所以 =5,即r=5, 所以sin= .,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行分类讨论.实际上本题中要分x=0和x0两种情况讨论.,【自我纠正】点P(x,4)到原点的距离 (1)当x=0时,cos=0,r=4. 由三角函数的定义,有,(2)当x0时,由 所以 即r=5. 由三角函数的定义,有sin= 答案:,
