2018-2019学年高中数学人教a版必修3课件：3.3.2均匀随机数的产生

3.3.2 均匀随机数的产生,1.均匀随机数的定义 如果试验的结果是区间a,b内的任何一个实数,而 且出现任何一个实数是_,则称这些实数为 均匀随机数.,等可能的,2.均匀随机数的特征 (1)随机数是在_内产生的. (2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性_.,一定范围,相等,3.均匀随机数的产生 (1)计算器产生区间0,1上的均匀随机数的函数是 _. (2)Excel软件产生区间0,1上的均匀随机数的函数 为“_”.,RAND,rand( ),(3)产生方法:由转盘产生;由_或_ 产生.,计算器,计算机,4.用模拟方法近似计算某事件概率的方法,随机模拟法,【点拨】 (1)均匀随机数的理解 均匀随机数是随机产生的,在一定的区域长度上出现的概率是相等的. 均匀随机数是小数或整数,相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.,(2)应用模拟试验近似计算概率的方法要点分析 用均匀随机数模拟试验时,首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.从以下几个方面考虑:,由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型只用一组,面积型需要两组; 由所有基本事件总体对应的区域确定产生随机数的范围; 由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式,求事件A的概率.,【自我检测】 1.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决 ( ) A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题 B.不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率,【解析】选C.很明显用均匀随机数进行随机模拟,不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积,但得到的是近似值,不是精确值,用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率.,2.下列关于随机数的说法: 计算器只能产生(0,1)之间的随机数; 计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数; 计算器只能产生均匀随机数; 我们通过命令RAND*(b-a)+a来得到两个整数值之间的随机数.其中正确的是 .,【解析】,答案:,3.在边长为2的正方形当中,有一个封闭曲线围成的阴影区域,向该正方形中随机撒入100粒豆子,恰有60粒豆子落入阴影区域内,那么阴影区域的面积近似为 .,【解析】设阴影区域的面积为S,则 答案:,类型一 用随机模拟方法估计长度型几何概型 【典例】1.将0,1内的均匀随机数a1转化为-2,6内的均匀随机数a,需实施的变换为 ( ) A.a=8a1 B.a=8a1+2 C.a=8a1-2 D.a=6a1,2.取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2m的概率有多大?,【审题路线图】1.利用两区间之间的关系确定变换方式. 2.确定基本事件,所求事件涉及区间制定随机数选取方法计算概率.,【解析】1.选C.因为随机数x0,1,而基本事件都在-2,6上,其区间长度为8,所以首先把a1变为8a1,又因区间左端值为-2,所以8a1再变为8a1-2,故变换公式为a=8a1-2.,2.设剪得两段的长都不小于2m为事件A. 方法一:(1)利用计算器或计算机产生n个01之间的均匀随机数,x=RAND; (2)作伸缩变换:y=x*(5-0),转化为0,5上的均匀随机数; (3)统计出2,3内均匀随机数的个数m; (4)则概率P(A)的近似值为,方法二:(1)做一个带有指针的转盘,把圆周五等分,标上刻度0,5(这里5和0重合); (2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针,记下指针在2,3内(表示剪断绳子位置在2,3范围内)的次数m及试验总次数n; (3)则概率P(A)的近似值为,【方法技巧】用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的步骤 (1)利用计算器或计算机产生一组0,1上的均匀随机数a1=RAND. (2)经过平移和伸缩变换y=(b-a)x+a,得到一组a,b上的均匀随机数.,(3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1. (4)计算频率fn(A)= 即为所求概率的近似值. 提醒:用随机模拟的方法估计事件的概率,首先要确定所求的几何概型与哪个量有关系,然后产生相应的随机数,并严格按照试验步骤进行.,【变式训练】在区间0,3内任取一个实数,求该实数大于2的概率.,【解析】(1)利用计算器或计算机产生n个01之间 的均匀随机数,x=RAND; (2)作伸缩变换:y=x*(3-0),转化为0,3上的均匀 随机数; (3)统计出(2,3内均匀随机数的个数m; (4)则概率的近似值为,类型二 用随机模拟方法估计面积型几何概型 【典例】1.从区间0,1随机抽取 2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1), (x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 ( ),2.解放军某部队进行特种兵跳伞演习,如图所示,在长为16 m,宽为14 m的矩形内有小、中、大三个同心圆,其半径分别为1 m,2 m,5 m.若着陆点在圆环B内,则跳伞成绩为合格;若着陆点在环状的阴影部分,则跳伞成绩为良好;若跳伞者的着陆点在小圆A内,则跳伞成绩为优秀;否则为不合格.若一位特种兵随意跳下,假设他的着陆点在矩形内,利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率.,【审题路线图】用随机模拟的方法求与面积型有关的几何概型概率问题所求的概率为面积之比,则要转化为求点数之比,要表示平面图形内的点必须有两个坐标,故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置.,【解析】1.选C.由题意得:(xi,yi)(i=1,2,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中, 由几何概型概率计算公式知,2.设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”. (1)利用计算器或计算机产生两组0,1上的均匀 随机数,a1=RAND,b1=RAND. (2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=14b1-7,得到 -8,8与-7,7上的均匀随机数.,(3)统计满足-8a8,-7b7的点(a,b)的个数N.满足1a2+b24的点(a,b)的个数N1. (4)计算频率fn(A)= ,即为所求概率的近似值.,【延伸探究】1.若本例2中条件不变,如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率? 【解题指南】可用点的个数比来求概率,要表示平面图形内的点必须有两个坐标,故可产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置.,【解析】设事件C表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”. (1)利用计算器或计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND. (2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=14b1-7,得到 -8,8与-7,7上的均匀随机数.,(3)统计满足-825的点(a,b)的个数N1. (4)计算频率fn(C)= ,即为所求概率的近似值.,2.若本例2中条件不变,如何利用随机模拟的方法,求该特种兵的成绩为优秀的概率?,【解析】设事件B表示“该特种兵跳伞的成绩为优秀”. (1)利用计算器或计算机产生0,1上的两个随机数a1=RAND,b1=RAND. (2)通过a=16a1-8,b=14b1-7转换到-8,8及-7,7上.,(3)统计满足-8a8,-7b7的点(a,b)的个数N及满足a2+b21的点(a,b)的个数N1. (4)计算 得到事件B概率的近似值.,【方法技巧】利用均匀随机数求几何概型的概率 利用均匀数求几何概型的关键是确定好随机数的量及随机数的范围,用随机数解决几何概型体现了数学建模的重要性.,【补偿训练】如图所示,在一个长为4,宽为2的矩形中 有一个半圆,试用随机模拟的方法近似计算半圆面积,并估计的值.,【解析】记事件A为“点落在半圆内”. (1)利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND; (2)进行平移和伸缩变换,a=4(a1-0.5),b=2b1得到一组-2,2,一组0,2上的均匀随机数;,(3)统计试验次数N和落在阴影部分的点的个数N1 (满足条件b 的点(a,b)的个数); (4)计算频率 就是点落在阴影部分的概率的近似值;,(5)用几何概型的概率公式求概率,P(A)= 所以 ,即S半圆 ,为半圆面积的近似值. 又2 ,所以 .,类型三 用随机模拟方法近似计算不规则 图形的面积 【典例】1.如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围 成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴 影区域内的概率为 ,则阴影区域的面积为 ( ),2.利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(抛物线y=2-2x-x2与x轴围成的图形)的面积.,【审题路线图】1.利用概率×正方形面积可得阴影区域面积. 2.用随机模拟方法近似计算不规则图形的面积可先计算与之相应的规则图形的面积,然后利用随机模拟的方法求出概率,并对阴影部分的面积进行估算.,【解析】1.选B.由几何概型的概率公式可得 又S正方形=4,所以S阴影=4×,2.利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数, a1=RAND,b1=RAND;经过平移和伸缩变换,a=a1· 4-3,b=b1·3,得到一组-3,1和一组0,3上的均匀 随机数;,统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1(满足条 件b2-2a-a2的点(a,b)的个数);计算频率 就是点 落在阴影部分的概率的近似值;设阴影部分的面积为 S,由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为 所以 ,故S 即为阴影部分面积的近似值.,【方法技巧】利用随机模拟方法估计图形面积的步骤 (1)把已知图形放在平面直角坐标系中,将图形看成某 规则图形(长方形或圆等)的一部分,并用阴影表示. (2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点,求出落 在阴影部分的概率P(A)= .,(3)设阴影部分的面积是S,规则图形的面积是S, 则有 ,解得S= S,则所求图形面积的 近似值为 S.,【提醒】解决此类问题时应注意两点:一是选取适当的对应图形,二是由几何概型的概率公式正确地计算概率.,【变式训练】利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y=x3和x=2以及x轴所围成的部分)的面积.,【解析】在坐标系中画出矩形(x=0,x=2,y=0,y=8所围成的图形),利用面积比与概率、频率的关系进行求解. (1)利用计算器或计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND; (2)经过伸缩变换,a=2a1,b=8b1;,(3)统计出试验总次数N和落在阴影部分(满足ba3) 点(a,b)的个数N1; (4)计算频率 就是点落在阴影部分的概率的近似值; (5)设阴影部分的面积为S.由几何概型概率公式得点 落在阴影部分的概率为 .所以 .所以S 即为阴影部分面积的近似值.,【核心素养培优区】 【易错案例】随机变换公式的应用 【典例】用计算器或计算机产生20个0,1之间的 随机数x,但是基本事件都在区间-1,3上,则需要经 过的线性变换是 ( ) A.y=3x-1 B.y=3x+1 C.y=4x+1 D.y=4x-1,C,【失误案例】因为随机数x0,1,而基本事件都在 -1,3上,其长度为4,由平移变换得y=4x+1.,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是确定区间之间的平移关系时弄错方向,应用区间的端点关系确定平移方向.,【自我纠正】选D.因为