甘肃省兰州第一中学2019届高三12月月考数学（理）试题（精品解析）

甘肃省兰州第一中学甘肃省兰州第一中学 20192019 届高三届高三 1212 月月考数学（理）试题月月考数学（理）试题 第第卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.已知集合,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两个集合的交集即可. 【详解】解：由 A 中不等式变形得：，即为变形可得：，解得， 即 A=，对于 B 中由 x23x+20，得 x1 或 x2，故 B=x|y=log2（x23x+2）=x|x1 或 x2，即. 故选:D. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题 2.设，则 是 成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件，分析是否成立即可。 【详解】若，则成立，所以是充分性 若，则当时成立，不满足，所以不是必要性 所以 是 的充分不必要条件 所以选 A 【点睛】本题考查了不等式成立条件及充分必要条件，属于基础题。 3.已知是等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由等比数列性质知，且 由此能求出 的值 【详解】解：数列an为等比数列，且 =（4）（16）=64，且 ， =8 故选：C 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题 4.已知实数 ， 满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，数形结合即可得到结果. 【详解】作出实数 x，y 满足条件表示的平面区域： , 记，其表示定点 P（）与平面区域上的动点连线的斜率， 显然 PB 连线的斜率最小，此时 B（3，） 故 的最小值为： 故选：C 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定 目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结 合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 5.若将函数的图象向左平移 个单位，所得图象关于原点对称，则 最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 的值，可得 tan 的值 【详解】将函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象向左平移 （0）个单位，可得 y=sin（2x+2+ ）的图象； 根据所得图象关于原点对称，则 2+ =k，kZ，且 的最小值为 ，tan=tan =， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题 6.已知数列满足，若恒成立，则 m 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由进行列项相消求和得再求出 的最大值即可 得到的范围. 【详解】解: ，又在上单调递增，故当时， 若恒成立，则则 的最小值为 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数列的通项公式进行变形再利裂项相消对数列求和,解题的关键是 正确求出 的最大值. 7.在中，为边上任意一点， 为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：. 考点：平面向量. 8.已知非零向量 ， ，满足，若函数在 R 上存在极值，则 和 夹角的取值范围 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求导数,而根据 f（x）在 R 上存在极值便有 f（x）=0 有两个不同实数根，从而 这样即可得到 这样由余弦函数的图象便可得出的范围，即 得出结果. 【详解】解：， f（x）在 R 上存在极值； f（x）=0 有两个不同实数根； ;即，因为， ； 与 夹角的取值范围为 . 故选：B 【点睛】考查函数极值的概念，以及在极值点两边的导数符号的关系，一元二次方程的实数根 的个数和判别式取值的关系，数量积的计算公式，并要熟悉余弦函数的图象 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 （ ） A. 6+ B. 8+ C. 6+ D. 6+ 【答案】C 【解析】 所以棱锥 P-ABCD 的表面积为 选 C. 点睛:空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 10.设等差数列的前 项和为，已知， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令，借助函数为奇函数且在 R 上位增函数得到结果. 【详解】令 不难发现函数为奇函数且在 R 上为增函数， 又，即 ， 变形为：， 即， ，即 = ，又在 R 上为增函数， ，即 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性，等差数列性质（若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq）的应用及 求和公式应用，本题是一道综合性非常好的试题. 11.若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 =（）（a+b2）=2+1+，根据基本不等式即可求出 【详解】a0，b2，且 a+b=3， a+b-2=1， =（）（a+b-2）=2+1+3+2，当且仅当 a=（b2）时取等号，即 b=1+，a=2时 取等号， 则的最小值是 3+2， 故选：A 【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数； 二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 12.已知函数，若关于 的方程有两个相异实根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】 分析：将方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根，在转化为一个函数 的图象与一条折线的位置关系，即可得到答案. 详解：方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根， 令， 其中表示过斜率为 1 或的平行折线， 结合图象，可知其中折线与曲线恰有一个公共点时， 若关于 的方程恰有两个不同的实根，则实数 的取值范围是，故选 B. 点睛：本题主要考查了方程根的存在性及根的个数的判断问题，其中把方程的实根的个数转化为两个函数的图 象的交点的个数，作出函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力. 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 9090 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.在中，AB=3，AC=4，BC=3，D 为 BC 的中点，则 AD=_ 【答案】. 【解析】 【分析】 首先应用余弦定理，利用三角形的边长，求得的值，之后在中，根据余弦定理，从而求得的长. 【详解】在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，可得， 所以，故答案是. 【点睛】该题考查的是三角形中有关边长的求解问题，涉及到的知识点有余弦定理，一步是应用余弦定理求内 角的余弦值，第二步是借助于所求的余弦值求边长，正确应用公式是解题的关键. 14.若曲线在点(1,-1)处的切线与曲线相切，则 m 的值是_. 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数的几何意义得到切线方程，联立方程，由判别式法得到 的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 联立 得， 为直线与曲线相切， 所以，解得. 故答案为： 【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其 求法为：设是曲线上的一点，则以 的切点的切线方程为：若曲线在点 的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 15.已知球 为正四面体的内切球， 为棱的中点，则平面截球 所得截面圆的面积为 _ 【答案】 【解析】 分析: 根据正四面体的性质，可得内切球半径，根据平面 ACE 截球 O 所得截面经过球心，可得答 案 详解: 球 O 为正四面体 ABCD 的内切球，AB=2， 所以正四面体的体积为. 设正四面体的内切球半径为 r, 则 故内切球半径 r=， 平面 ACE 截球 O 所得截面经过球心， 故平面 ACE 截球 O 所得截面圆半径与球半径相等， 故 S=r2= ， 点睛：本题主要考查几何体的内切球外接球问题，考查正四面体的性质.它的关键在于找到内切球的半径， 关键在于找到关于 r 的方程.球心和正四面体的每一个顶点连接起来，得到四个小的三棱锥，它们的体积 的和等于正四面体的体积，本题就是根据体积相等列出关于 r 的方程的. 16.已知.若,的最大值为 2，则 m+n 的 最小值为_. 【答案】 【解析】 试题分析： ，由 ，作出此可行域 如图所示，当直线经过点时，有最大值 ，所以，则 ，当且仅当，即时取等号，故答案填. 考点：1、平面向量；2、线性规划；3、基本不等式. 【思路点晴】本题是一个关于平面向量、线性规划以及基本不等式方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基 本思路及切入点是：首先根据题目条件将的限制范围转化为限制范围，也就是关于的可行域，然后再 根据线性规划的知识得出的关系，最后再结合基本不等式，即可求出的最小值.不过在此过程中要特别 注意不等式取等号的条件，即“一正、二定、三相等”，否则容易出错. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 第第 1717 2121 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答题考生都必须作答. .第第 2222、2323 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答. . 17.函数，的部分图象如图所示， （）求函数的解析式； （）已知数列满足，且 是与的等差中项，求的通项公式. 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （）通过函数的图象求出 A，利用周期求出 ，利用函数的图象经过的特殊点求出 ，即可求出 f（x）的解析 式；（）由题意可得，利用待定系数法可得，从而得到的通项公式. 【详解】 （）由图象可知A2， 从而2. 又当时，函数f(x)取得最大值， 故(kZ Z)， 00 的解集； （）若关于 x 的不等式有解，求实数 m 的取值范围. 【答案】 （1）；（2） 【解析】 分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集； （2），利用绝对值的三角不等式求得的最小值，然后解不 等式即可 详解：（1）， 当时，得；当时，得；当时，得， 综上可得不等式的解集为. （2）依题意， 令 . ，解得或，即实数 的取值范围是. 点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别： （1） “能成立”：存在 使不等式成立，存在