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甘肃省兰州第一中学2019届高三12月月考数学(理)试题(精品解析)

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    • 1、甘肃省兰州第一中学甘肃省兰州第一中学 20192019 届高三届高三 1212 月月考数学(理)试题月月考数学(理)试题 第第卷(选择题卷(选择题 共共 6060 分)分) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 1212 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中,只有一项在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.已知集合,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两个集合的交集即可. 【详解】解:由 A 中不等式变形得:,即为变形可得:,解得, 即 A=,对于 B 中由 x23x+20,得 x1 或 x2,故 B=x|y=log2(x23x+2)=x|x1 或 x2,即. 故选:D. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法,考查交集及其运算,是基础题 2.设,则 是 成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析

      2、】 根据条件,分析是否成立即可。 【详解】若,则成立,所以是充分性 若,则当时成立,不满足,所以不是必要性 所以 是 的充分不必要条件 所以选 A 【点睛】本题考查了不等式成立条件及充分必要条件,属于基础题。 3.已知是等比数列,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由等比数列性质知,且 由此能求出 的值 【详解】解:数列an为等比数列,且 =(4)(16)=64,且 , =8 故选:C 【点睛】本题考查等比数列的性质,考查推理论证能力、运算求解能力,是基础题 4.已知实数 , 满足,则的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的ABC 及其内部,数形结合即可得到结果. 【详解】作出实数 x,y 满足条件表示的平面区域: , 记,其表示定点 P()与平面区域上的动点连线的斜率, 显然 PB 连线的斜率最小,此时 B(3,) 故 的最小值为: 故选:C 【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定 目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间

      3、距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结 合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 5.若将函数的图象向左平移 个单位,所得图象关于原点对称,则 最小时,( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数 y=Asin(x+)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,求得 的值,可得 tan 的值 【详解】将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向左平移 (0)个单位,可得 y=sin(2x+2+ )的图象; 根据所得图象关于原点对称,则 2+ =k,kZ,且 的最小值为 ,tan=tan =, 故选:A 【点睛】本题主要考查函数 y=Asin(x+)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题 6.已知数列满足,若恒成立,则 m 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由进行列项相消求和得再求出 的最大值即可 得到的范围. 【详解】解: ,又在上单调递增,故当时, 若恒成立,则则 的最小值为 . 故选:D. 【点睛】本题主要考查对数列的通项公式进行变形再利裂项相消对数列求和,解题的关键是 正确求出 的最大值.

      4、7.在中,为边上任意一点, 为的中点,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析:. 考点:平面向量. 8.已知非零向量 , ,满足,若函数在 R 上存在极值,则 和 夹角的取值范围 为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求导数,而根据 f(x)在 R 上存在极值便有 f(x)=0 有两个不同实数根,从而 这样即可得到 这样由余弦函数的图象便可得出的范围,即 得出结果. 【详解】解:, f(x)在 R 上存在极值; f(x)=0 有两个不同实数根; ;即,因为, ; 与 夹角的取值范围为 . 故选:B 【点睛】考查函数极值的概念,以及在极值点两边的导数符号的关系,一元二次方程的实数根 的个数和判别式取值的关系,数量积的计算公式,并要熟悉余弦函数的图象 9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为 ( ) A. 6+ B. 8+ C. 6+ D. 6+ 【答案】C 【解析】 所以棱锥 P-ABCD 的表面积为 选 C. 点睛:空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关

      5、键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理 (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 10.设等差数列的前 项和为,已知, ,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令,借助函数为奇函数且在 R 上位增函数得到结果. 【详解】令 不难发现函数为奇函数且在 R 上为增函数, 又,即 , 变形为:, 即, ,即 = ,又在 R 上为增函数, ,即 故选:D 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性,等差数列性质(若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq)的应用及 求和公式应用,本题是一道综合性非常好的试题. 11.若,则的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 =()(a+b2)=2+1+,根据基本不等式即可求出 【详解】a0,b2,且 a+b=3, a+b-2=1, =()(a+b-2)=2+1+3+2,当且仅当 a=(b2)时取等号,即 b=1+,a=2时 取等号, 则的最小值是 3+2, 故选:A 【点睛】在用

      6、基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.一正:关系式中,各项均为正数; 二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;三相等:含变量的各项均相等,取得最值. 12.已知函数,若关于 的方程有两个相异实根,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 分析:将方程恰有两个不同的实根,转化为方程恰有两个不同的实根,在转化为一个函数 的图象与一条折线的位置关系,即可得到答案. 详解:方程恰有两个不同的实根,转化为方程恰有两个不同的实根, 令, 其中表示过斜率为 1 或的平行折线, 结合图象,可知其中折线与曲线恰有一个公共点时, 若关于 的方程恰有两个不同的实根,则实数 的取值范围是,故选 B. 点睛:本题主要考查了方程根的存在性及根的个数的判断问题,其中把方程的实根的个数转化为两个函数的图 象的交点的个数,作出函数的图象是解答的关键,着重考查了转化思想方法,以及分析问题和解答问题的能力. 第第卷(非选择题卷(非选择题 共共 9090 分)分) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 202

      7、0 分分. . 13.在中,AB=3,AC=4,BC=3,D 为 BC 的中点,则 AD=_ 【答案】. 【解析】 【分析】 首先应用余弦定理,利用三角形的边长,求得的值,之后在中,根据余弦定理,从而求得的长. 【详解】在中,根据余弦定理,可得, 在中,根据余弦定理,可得, 所以,故答案是. 【点睛】该题考查的是三角形中有关边长的求解问题,涉及到的知识点有余弦定理,一步是应用余弦定理求内 角的余弦值,第二步是借助于所求的余弦值求边长,正确应用公式是解题的关键. 14.若曲线在点(1,-1)处的切线与曲线相切,则 m 的值是_. 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数的几何意义得到切线方程,联立方程,由判别式法得到 的值. 【详解】因为,所以,所以, 所以曲线在点处的切线方程为,即, 联立 得, 为直线与曲线相切, 所以,解得. 故答案为: 【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其 求法为:设是曲线上的一点,则以 的切点的切线方程为:若曲线在点 的切线平行于 轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为 15.已知球 为正四面体的内切球

      8、, 为棱的中点,则平面截球 所得截面圆的面积为 _ 【答案】 【解析】 分析: 根据正四面体的性质,可得内切球半径,根据平面 ACE 截球 O 所得截面经过球心,可得答 案 详解: 球 O 为正四面体 ABCD 的内切球,AB=2, 所以正四面体的体积为. 设正四面体的内切球半径为 r, 则 故内切球半径 r=, 平面 ACE 截球 O 所得截面经过球心, 故平面 ACE 截球 O 所得截面圆半径与球半径相等, 故 S=r2= , 点睛:本题主要考查几何体的内切球外接球问题,考查正四面体的性质.它的关键在于找到内切球的半径, 关键在于找到关于 r 的方程.球心和正四面体的每一个顶点连接起来,得到四个小的三棱锥,它们的体积 的和等于正四面体的体积,本题就是根据体积相等列出关于 r 的方程的. 16.已知.若,的最大值为 2,则 m+n 的 最小值为_. 【答案】 【解析】 试题分析: ,由 ,作出此可行域 如图所示,当直线经过点时,有最大值 ,所以,则 ,当且仅当,即时取等号,故答案填. 考点:1、平面向量;2、线性规划;3、基本不等式. 【思路点晴】本题是一个关于平面向量、线性规划以及

      9、基本不等式方面的综合性问题,属于难题.解决本题的基 本思路及切入点是:首先根据题目条件将的限制范围转化为限制范围,也就是关于的可行域,然后再 根据线性规划的知识得出的关系,最后再结合基本不等式,即可求出的最小值.不过在此过程中要特别 注意不等式取等号的条件,即“一正、二定、三相等”,否则容易出错. 三、解答题:共三、解答题:共 7070 分分. .答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 第第 1717 2121 题为必考题,每个试题为必考题,每个试 题考生都必须作答题考生都必须作答. .第第 2222、2323 为选考题,考生根据要求作答为选考题,考生根据要求作答. . 17.函数,的部分图象如图所示, ()求函数的解析式; ()已知数列满足,且 是与的等差中项,求的通项公式. 【答案】 (1); (2). 【解析】 【分析】 ()通过函数的图象求出 A,利用周期求出 ,利用函数的图象经过的特殊点求出 ,即可求出 f(x)的解析 式;()由题意可得,利用待定系数法可得,从而得到的通项公式. 【详解】 ()由图象可知A2, 从而2. 又当时,函数f(x)取得最大值, 故(kZ Z), 00 的解集; ()若关于 x 的不等式有解,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1);(2) 【解析】 分析:(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,分类解一元一次不等式组后再合并可得解集; (2),利用绝对值的三角不等式求得的最小值,然后解不 等式即可 详解:(1), 当时,得;当时,得;当时,得, 综上可得不等式的解集为. (2)依题意, 令 . ,解得或,即实数 的取值范围是. 点睛:本题考查不等式“能成立”问题,要注意与“恒成立”问题的区别: (1) “能成立”:存在 使不等式成立,存在

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