湖北省荆州中学、等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 1 页，共 21 页 2018-2019 学年湖北省荆州中学高二（上）期中数学试卷学年湖北省荆州中学高二（上）期中数学试卷 （理科）（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.设角 的终边过点（1，-2），则 cos 的值为（ ） A. B. C. D. 5 5 5 5 2 5 5 2 5 5 2.已知数列 1，a1，a2，4 成等差数列，-1，b1，b2，b3，-4 成等比数列，则的值 2 1 2 是（ ） A. B. C. D. 1 2 1 2 1 2 或 1 2 1 4 3.下列不等式中一定成立的是（ ） A. 若，则B. 若，则 1 0 2 2 0 + 1 + 1 4.“荆、荆、襄、宜七校联考”正在如期开展，组委会为了解各所学校学生的学情， 欲从四地选取 200 人作样本开展调研若来自荆州地区的考生有 1000 人，荆门地 区的考生有 2000 人，襄阳地区的考生有 3000 人，宜昌地区的考生有 2000 人为 保证调研结果相对准确，下列判断正确的有（ ） 用分层抽样的方法分别抽取荆州地区学生 25 人、荆门地区学生 50 人、襄阳地 区学生 75 人、宜昌地区学生 50 人； 可采用简单随机抽样的方法从所有考生中选出 200 人开展调研； 宜昌地区学生小刘被选中的概率为 ； 1 40 襄阳地区学生小张被选中的概率为 1 8000 A. B. C. D. 5.直线 xsin +ycos+1=0 的倾斜角 是（ ） 5 3 10 A. B. C. D. 4 3 4 5 3 10 6.我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今 有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后 人四分取一，余米五升问米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程 序框图，若输出的 S=5（单位：升），则输入 k 的值为（ ） A. 7.5 B. 15 C. 20 D. 25 7.某三棱锥的三视图如图所示，且三个视图均为直角 三角形，则该三棱锥的表面积为（ ） A. 2 + 2 2 B. 4 + 4 2 C. 2 + 2 D. 2 + 4 2 8.已知函数 y=f（x）+sinx 在上单调递增，则 f（x）可能是（ ） 4， 3 4 A. B. () = () = ( + 2) C. D. () = ( + ) () = ( + 3 2) 9.大学生小王和小张即将参加实习，他们各从“崇尚科学，关心社会”的荆州市荆 州中学、“安学、亲师、乐友、信道”的荆门市龙泉中学、“崇尚科学，追求真 理”的荆门市钟祥一中、“追求卓越，崇尚一流”的襄阳市第四中学、“文明、 振奋、务实、创新”的襄阳市第五中学、“千年文脉，百年一中”的宜昌市第一 中学、“人走三峡，书读夷陵”的宜昌市夷陵中学这七所省重点中学中随机选择 一所参加实习，两人可选同一所或者两所不同的学校，假设他们选择哪所学校是 等可能的，则他们在同一个市参加实习的概率为（ ） A. B. C. D. 1 7 6 49 13 49 13 21 10. 已知奇函数 f（x）为 R 上的单调递减函数，数列an是公差为 2 的等差数列，且 f（a5）+f（a6）+f（a10）=0，则 a2018=（ ） 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 3 页，共 21 页 A. 2018B. 2021C. 4019D. 4021 11. 过平面直角坐标系中的点 P（4-3a，）（aR）作圆 x2+y2=1 的两条切线 3 PA，PB，切点分别为 A，B，则数量积的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 2 3 2 2 2 32 3 2 12. 已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，CC1=3，长方体每条棱所在直线 与过点 C1的平面 所成的角都相等，则直线 AC 与平面 所成角的余弦值为（ ） A. 或 1B. 或 0C. 或 0D. 或 1 3 3 3 3 3 17 17 3 17 17 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 A：B：C=1：2：3，则 a：b：c=_ 14. 已知不共线的平面向量 ， ， 两两所成的角相等，且| |=1，| |=2，|=， + + 7 则| |=_； 15. 有下列命题：边长为 1 的正四面体的内切球半径为 ； 6 12 正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径之比 为 1：； 2： 3 棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的内切球被平面 A1BD 截得的截面面积为 6 其中正确命题的序号是_（请填所有正确命题的序号）； 16. 设实数 x，y 满足，则 z=的取值范围是 + 2 0 2 (2+ 1+ )(2+ 1+ ) 1 ? 2 + 3 4 2 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知向量 =（2sinx，-1）， =（cosx，2cos2x），函数 f（x）= 3 （1）求函数 f（x）的对称中心； （2）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，且 a2=bc，求 f（A）的取值 范围 18. 已知数列an的前 n 项和为 Sn，点（n，Sn）（nN*）在 y=x2的函数图象上 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn=（-1）n+1anan+1，求数列bn的前 100 项和 T100 19. 如图，在三棱锥 A-BCD 中， AB=a，AC=AD=b，BC=CD=D=c（a0，b0，c0）该三棱锥的截面 EFGH 平 行于 AB、CD，分别交 AD、AC、BC、BD 于 E、F、G、H （1）证明：ABCD； （2）求截面四边形 EFGH 面积的最大值，并说明面积取最大值时截面的位置 20. 已知在平面直角坐标系中，直线 l 过点 P（1，2） （1）若直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求直线 l 的方程； （2）求坐标原点 O 到直线 l 距离取最大值时的直线 l 的方程； （3）设直线 l 与 x 轴正半轴、y 轴正半轴分别相交于 A，B 两点，当|PA|PB|最小 时，求直线 l 的方程 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 5 页，共 21 页 21. 为达到节水节电的目的，某家庭记录了 20 天的日用电量 xi（单位：度）的频数分 布表和这 20 天相应的日用水量 yi（单位：m3）的频率分布直方图如下： 日用电量 xi0，2）2，4）4，6）6，8）8，10） 频数（天）25733 （1）假设水费为 2.5 元/m3，电费为 0.6 元/度，用以上数据估计该家庭日用电量的 平均值和日用水量的平均值，并据此估计该家庭一个月的水费和电费一共是多少？ （一个月按 30 天算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）； （2）假设该家庭的日用水量 y 和日用电量 x 可用线性回归模型来拟合，请利用 （1）中的计算数据及所给的参考数据和公式，建立 y 与 x 的回归方程，预测若该 家庭日用电量为 20 度时的日用水量是多少 m3？（回归方程的系数小数点后保留 2 位小数） 参考数据：xiyi=65，x =612 20 = 1 20 = 1 2 参考公式：回归方程 = x中斜率和截距的公式分别为： + =， = = 1( )( ) = 1( ) 2 22. 已知圆 C1：x2+y2-2mx-4my+5m2-4=0（mR），圆 C2：x2+y2=1 （1）过定点 M（1，-2）作圆 C2的切线，求切线的方程； （2）若圆 C1与圆 C2相交，求 m 的取值范围； （3）已知点 P（2，0），圆 C1上一点 A，圆 C2上一点 B，求|的最小值的 + 取值范围 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 7 页，共 21 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】A 【解析】 解：角 的终边过点（1，-2），x=1，y=-2，r=|OP|=，cos=， 故选：A 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 cos 的值 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 2.【答案】B 【解析】 解：数列 1，a1，a2，4 成等差数列， 可得公差 d=a2-a1=1， -1，b1，b2，b3，-4 成等比数列， 可得 b22=-1×（-4）=4，则 b2=±2， 由于 b2为奇数项，且为负值， 可得 b2=-2， 则的值是- 故选：B 运用等差数列和等比数列的性质，解方程即可得到所求值 本题考查等差数列和等比数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础 题 3.【答案】D 【解析】 对于 A，若 ab，令 a=1，b=-1，则 1-1，即，故错误， 对于 B，ab0，=，故错误； 对于 C，若 ab，令 a=1，b=-1，则 12（-1）2，即 a2=b2，故错误， 对于 D，ab0，a+，故正确； 故选：D 利用作差法和不等式的基本性质即可判断出 本题考查了作差法和不等式的基本性质，属于基础题 4.【答案】B 【解析】 解：用分层抽样的方法，由四区的考生人数之比为 1：2：3：2，共抽取 200 人， 可得分别抽取荆州地区学生 25 人、荆门地区学生 50 人， 襄阳地区学生 75 人，宜昌地区学生 50 人，故正确； 由于各校情况不相同，不可采用简单随机抽样的方法从所有考生中选出 200 人开展调研，故错误； 由抽样特点可得各个个体被选中的概率相等，均为=，故正确， 错误 故选：B 考虑四区的考生人数之比，可判断；由于各地情况不尽相同，可判断； 由抽样特点可得各个个体被选中的概率相等，均为=，可判断 本题考查抽样方法在实际问题中的应用，考查运算能力和推理能力，是一道 基础题 5.【答案】A 【解析】 解：xsin+ycos+1=0， 则 tan=-=-=-1 =， 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 9 页，共 21 页 故选：A 由题意可得：tan=-利用诱导公式化简即可得出 本题考查了倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 6.【答案】B 【解析】 解：根据程序框图：当 n=1 时，s=k， 当 n=2 时，s=k-， 当 n=3 时，s=， 当 k=4 时，输出 s=， 解得：k=15 故选：B 直接利用程序框图的循环结构求出结果 本题考查的知识要点：程序框图的应用，主要考查学生的运算能力和转化能 力，属于基础题型 7.【答案】A 【解析】 解：满足条件的几何体是三棱锥，