广东省东莞市2019届高三上学期期末调研测试数学文试题（精品解析）

2018-20192018-2019 学年度第一学期期末调研测试学年度第一学期期末调研测试 高三数学（文科）高三数学（文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解一元一次不等式求得 的范围，然后求两个集合的交集. 【详解】由，解得.故.故选 D. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集等知识，属于基础题. 2.已知复数（ 为虚数单位） ，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数除法运算化简 为的形式，由此求得. 【详解】依题意，故，故选 B. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的知识和运算，属于基础题. 3.已知向量，若，则实数 的值为（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由题得，解方程即得解. 【详解】因为，由，得，解得 x=2， 故选 D. 【点睛】(1)本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和 分析推理能力.(2) 如果 =, =，则 | 的充要条件是. 4.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据离心率得到 ，由此计算得 ，进而求得双曲线渐近线方程. 【详解】由于双曲线离心率为，故，解得，故双曲线的渐近线方程为.所以 选 A. 【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题. 5.若，则的最大值为（ ） A. 25 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将等价变换后，利用基本不等式求得最大值. 【详解】依题意，当且仅当时等号成立，故选 D. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 6.函数的图像大致为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去 A, 舍去 D; ， 所以舍去 C；因此选 B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的 值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称 性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 7.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项. 【详解】对于 A 选项，直线 有可能在平面 呢，故 A 选项错误.对于 B 选项，两个平面有可能相交， 平行与它 们的交线，故 B 选项错误.对于 C 选项，可能平行，故 C 选项错误.根据线面垂直的性质定理可知 D 选项正确.故 选 D. 【点睛】本小题主要考查空间线、面位置关系的判断，属于基础题. 8.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】 将转化为，由此判断出正确选项. 【详解】由于，故需向左平移后得到的图像. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，转换过程中要注意是将哪个函数变到哪个函数，属于基础题. 9.在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 由等比数列的性质可得 b52,再利用对数的运算性质即可得出 【详解】已知,由等比数列的性质可得， 又等比数列各项为正数，b50，可得 b52 则log2（b1b2b9）log29 故选：D 【点睛】本题考查等比数列的性质（其中 m+n=p+q） 、对数的运算性质的应用，考查推理能力与 计算能力，属于中档题 10.在边长为 2 的等边中， 是的中点，点 是线段上一动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 以 为原点建立平面直角坐标系，设出 点的坐标，代入，化简后求得取值范围. 【详解】画出图像如下图所示，以分别为轴建立平面直角坐标系，故设 ，所以，根据二次函数的性质可知，对称轴，故当或时 取得最大值为 ，当时取得最小值为，故的取值范围是.故选 B. 【点睛】本小题主要考查利用坐标法，求向量数量积的取 值范围，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.由于题目所给几何体是等边三角形，所以可以通过建立平面 直角坐标系的方法，写出各点的坐标，利用数量积的坐标表示求得数量积的表达式，然后利用二次函数的图像 与性质来求得最值也即求得取值范围. 11.已知圆 ：与 轴负半轴交于点，圆 与直线 ：交于两点，那么在圆 内随机取一点， 则该点落在内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用弦长公式求得，利用点到直线的距离求得到直线的距离，由此求得三角形的面积，根据几何 概型概率计算公式求得所求的概率. 【详解】圆心到直线的距离为，圆的半径为，故，点到直线的距离为 ，故三角形的面积为.故所求的概率为，故选 A. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相 交所得弦长的求法，考查点到直线的距离公式，考查三角形的面积公式，属于中档题.有关直线和圆相交所得弦 长问题，往往是通过计算圆心到直线的距离，然后通过弦长公式来求解，其中 是圆的半径， 是 圆心到直线的距离. 12.设函数，则满足的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用特殊值，对选项进行排除，由此得到正确选项. 【详解】当时，由此排除 D 选项.当时，由此排除 B 选项.当时，由此排除 A 选项.综上所述，本小题选 C. 【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题. 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13.曲线在点处的切线方程为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求得曲线在点处切线的斜率，再根据点斜式求得切线方程. 【详解】，所以，且切线的斜率为 ，由点斜式得，即. 【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线的点斜式方程，属于基础题.要求曲线在 某点处的切线方程，要先求得曲线在切点的斜率，斜率是利用导数来求得.直线的点斜式方程为， 其中 为斜率，即.填空题，切线方程可写为一般式或者斜截式. 14.实数 ， 满足，且，则 的最小值为_ 【答案】-11 【解析】 【分析】 由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐 标，代入目标函数得到答案. 【详解】画约束条件可行域如图： 目标函数 z3x y 可化为 y3x z，即斜率为 3，截距为z 的动直线， 数形结合可知，当动直线过点 C 时，z 最小 由得 C（ 4，-1） 目标函数 z3x y 的最小值为 z-12+1-11 故答案为：-11 【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数 的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚 线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶 点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15.三棱锥的外接球为球 ，球 的直径是，且，都是边长为 2 的等边三角形，则球 的表 面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知条件是球的直径，所以的中点为球心，根据直径多对的圆周角为直角，在等腰直角三角形 中求得直径的长，进而求得球的表面积. 【详解】由于是球的直径，故的中点为球心.由于直径所对的圆周角是直角，且是有一条公共 边的等边三角形，故三角形是等腰直角三角形，故，所以求的表面积为 . 【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面 积计算问题，关键是找到球心和求出球的半径，属于基础题. 16.如图，半圆 的直径为 2， 为直径延长线上的一点， 为半圆上任意一点，以为一边作等边 .则四边形的面积最大值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 设，利用 表示出四边形面积，并根据三角函数的性质求得面积的最大值. 【详解】设设，由余弦定理得，所以四边形的面积 ，故当，时，面积取得 最大值为. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查辅助角公式以及三角函数求最值的 方法，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.已知等比数列的首项，且 ，10， 构成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，解方程求得 的值，进而求得数列的通项公式.（2）先 求得的表达式，利用裂项求和法求得数列的前 项和. 【详解】 （1）因为 ，10， 构成等差数列，所以， 又因为数列为等比数列，设其公比为 ，那么，解得， 所以； （2）因为， 所以， 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前 项和，考查裂项求和法.基 本元的思想是在等差数列中有 个基本量，利用等差数列的通项公式或前 项和公式，结合已知条件列 出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值. 18.某电商在双十一搞促销活动，顾客购满 5 件获得积分 30 分（不足 5 件不积分） ，每多买 2 件再积 20 分（不 足 2 件不积分） ，比如某顾客购买了 12 件，则可积 90 分.为了解顾客积分情况，该电商在某天随机抽取了 1000 名顾客，统计了当天他们的购物数额，并将样本数据分为， ，九组，整理得到如图频率分布直方图. （1）求直方图中 的值； （2）从当天购物数额在，的顾客中按分层抽样的方式抽取 6 人.那么，从这 6 人中随机抽取 2 人， 则这 2 人积分之和不少于 240 分的概率. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用小长方形面积之和为 列方程，解方程求得 的值.（2）利用列举法列出所有的基本事件，求得“积分 之和不少于分”的事件数，根据古典概型概率计算公式求得所求的概率. 【详解】 （1）各组的频率分别为 0.04，0.06，0.2，0.08，0.02 化简得， 解得， （2）按分层抽样的方法，在内应抽取 4 人，记为每人的积分是 110 分； 在内应抽取 2 人，记为，每人的积分是 130 分； 从 6 人中随机抽取 2 人，有 共 15 种方法. 所以，从 6 人中随机抽取 2 人，这 2 人的积分之和不少于 240 分的有 共 9 种方法. 设从 6 人中随机抽取 2 人，这 2 人的积分之和不少于 240 分为事件，则. 所以从 6 人中随机抽取 2 人，这 2 人的积分之和不少于 240 分的概率为 . 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识，考查利用列举法求解古典概型问题，属于中档题. 19.如图，四棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，. （1）求证：； （2）若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)见证明；（2）1 【解析】 【分析】 （1）通过证明，证得平面，由此证得.(2)首先证得平面，其次 证得平面，由此得到，从而得到四边形是直角梯形，并求得面