2018届高三第五次模拟考试数学（文科）试题（精品解析）

20182018 届高三第五次模拟考试届高三第五次模拟考试 文科数学试题文科数学试题 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。目要求的。 1.已知复数，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求得 x,y 的值，然后求解复数 z 的模即可. 【详解】由复数相等的充分必要条件有：，即， 则，. 本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算 求解能力. 2.已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得集合 A，然后逐一考查所给选项是否正确即可. 【详解】求解一元二次不等式可得， 据此可知，选项 A 错误； ，选项 B 正确； 集合 AB 之间不具有包含关系，选项 CD 错误； 本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学 生的转化能力和计算求解能力. 3.已知向量 , 满足，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：， 则. 本题选择 A 选项. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应 用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用 4.我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤, 中间三尺重几何 ”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾， 每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？” （ ） A. 6 斤 B. 7 斤 C. 8 斤 D. 9 斤 【答案】D 【解析】 【分析】 将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可. 【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值. 由等差数列的性质可知：， 则，即中间三尺共重 斤. 本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. 5.在区间上随机取两个数 x，y，记 P 为事件“”的概率，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，表示的平面区域为， 平面区域内满足的部分为阴影部分的区域，其中， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为. 本题选择 D 选项. 【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解 题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式， 在图形中画出事件 A 发生的区域，据此求解几何概型即可. 6.在中，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合正弦定理首先求得 b 的值，然后利用余弦定理求解 c 的值即可. 【详解】由正弦定理可得， 且， 由余弦定理可得：. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次 式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应 用解决三角形问题时，注意角的限制范围 7.已知函数的最小正周期为 ，将的图象向右平移个单位长度，所得图象 关于 轴对称，则 的一个值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得 的值，然后结合三角函数的性质和图象确定 的值即可. 【详解】由函数的最小正周期公式可得：， 则函数的解析式为， 将的图象向右平移 个单位长度或所得的函数解析式为： ， 函数图象关于 轴对称，则函数为偶函数，即当时： ， 则， 令可得：， 其余选项明显不适合式. 本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力. 8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面积即可. 【详解】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，圆锥的高，其母线长 ， 则该几何体的表面积为： . 本题选择 C 选项. 【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发 现几何体中各元素间的位置关系及数量关系 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理 (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底 面圆的面积之和 9.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的 值的取值范围是 A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 由题意知，该程序的功能是求函数的值域 当时，在区间上单调递增， ，即； 当时，当且仅当，即时等号成立 综上输出的 值的取值范围是或选 C 10.已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以 ，化简可得，则离心率. 方法二：因为焦点到渐近线的距离为 ，则有平行线的对应成比例可得知，即则 离心率为. 选 A. 11.直线 过抛物线的焦点且与抛物线交于,两点，若线段的长分别为，则的最小值 是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解的最小值即可. 【详解】由抛物线焦点弦的性质可知：， 则， 当且仅当时等号成立. 即的最小值是 9. 本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. 12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数 的取值范围即可. 【详解】不等式即， 结合可得恒成立，即恒成立， 构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增， 故恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则的最小值为， 据此可得实数 的取值范围为. 本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力. 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22) (23)题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。分。 13.已知，则_ 【答案】1 【解析】 【分析】 原式分母看作“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值. 【详解】， 原式. 故答案为：1. 【点睛】(1)利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用可以实现角 的弦切互 化 (2) 注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2. 14.已知实数 x、y 满足，则目标函数的最小值为_ 【答案】 【解析】 满足条件的点的可行域如下： 由图可知，目标函数在点处取到最小值-3 15.棱长均为 的直三棱柱的外接球的表面积是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可. 【详解】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为， 则外接球的半径， 则外接球的表面积为. 【点睛】本题主要考查三棱柱的空间结构特征，多面体与球的外接问题等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. 16.已知函数， 当时，有最大值； 对于任意的，函数是上的增函数； 对于任意的，函数一定存在最小值； 对于任意的，都有 其中正确结论的序号是_ （写出所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 【分析】 由题意利用导函数研究函数的性质即可. 【详解】由函数的解析式可得：， 当时， 单调递增，且， 据此可知当时， 单调递增，函数没有最大值，说法错误； 当时，函数均为单调递增函数，则函数是上的增函数，说法正确； 当时，单调递增，且， 且当，据此可知存在， 在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增； 函数在处取得最小值，说法正确； 当时， 由于，故，说法错误； 综上可得：正确结论的序号是. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知数列的前 项和，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和 【答案】 （）；（）. 【解析】 【分析】 （）由题意可得则利用通项公式与前 n 项和的关系可得 （） 由（1）可知，结合等比数列前 n 项和公式计算可得数列的前 项和. 【详解】 （）由 得 所以当时， 当时， 所以 检验符合 （） 由（1）可知 所以.设数列的前 项和为，则： 所以数列的前 项和为. 【点睛】本题主要考查数列通项公式与前 n 项和公式的关系，等比数列前 n 项和公式及其应用等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力. 18.长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率分布 直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间内，单位：元）. （）请估计该公司的职工月收入在内的概率； （）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数. 【答案】 （）0.3；（）中位数和平均数的估计值都是. 【解析】 【分析】 （）由频率分布直方图计算可得职工月收入在内的概率为； （）利用面积相等可得中位数的估计值为；利用平均数公式计算可得平均数的估计值为. 【详解】 （）职工月收入在内的概率为 ； （）根据条件可知，从左至右小矩形的面积分别是、，因此，中位数的估计值为 ； 平均数的估计值为. 综上可知，中位数和平均数的估计值都是. 【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标 即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频 率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 19.如图，四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD为梯形，且 ， 证明：； 求A到平面PBD的距离 【答案】 （）见解析；（）. 【解析】 【分析】 （1）由余弦定理得，从而 BDAB，由 ABDC，得 BDDC从而 BD平面 PDC，由此能证明 BDPC （