广东省、、、2019届高三上学期期末联考数学（文）试题（含解析）

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考文科数学注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别计算集合M,N,结合集合交集运算性质,计算结果,即可.【详解】，故 ，故选C【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,关键化简集合N,难度中等.2.已知为虚数单位，若，则复数的模等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合复数的四则运算,计算复数z，计算模长，即可。【详解】，故选D.【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等。3.设，是非零向量，记与所成的角为，下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合题目式子，得出等价于非零向量与同向共线，即可。【详解】等价于非零向量与同向共线，故选B.【点睛】本道题考查了向量共线判定，考查了充要条件判定,关键理解等价于非零向量与同向共线，难度中等。4.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了8月是空气质量最好的一个月6月的空气质量最差A. B. C. D. 【答案】A【解析】 在A中，1月至8月空气合格天数超过20谈的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个，故A正确； 在B中，第一季度合格天数的比重为； 第二季度合格天气的比重为，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，所以B是正确的； 在C中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的； 在D中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的，综上，故选A.5.若函数是偶函数，则的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合偶函数的性质，计算参数m，得到函数解析式，结合单调性判定，判定单调递增区间，即可，难度中等。【详解】是偶函数，得，其单调递增区间是，故选D.【点睛】本道题考查了偶函数的性质，考查了单调区间的判定，难度中等。6.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知，可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有3种，则田忌马获胜的概率为.本题选择A选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.7.若函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】代入特殊值法，分别代入，排除各个选项，即可。【详解】由可排除B、D，由可排除C，故选A.【点睛】本道题考查了三角函数的解析式的计算，难度中等。8.若，满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 13【答案】C【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，计算最值，即可。【详解】画出可行域，数形结合可得在处取得最优解，代入得最小值为4，故选 C【点睛】本道题考查了线性规划计算最值问题，关键绘制出可行域，计算最值，难度中等。9.等比数列中，是关于x的方程的两个实根，则（ ）A. 8 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算，代入，计算式子，即可。【详解】是关于x的方程的两实根，所以，由得，所以，即，所以.故选B【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等。10.若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合题意，将零点问题转化为函数交点问题，计算a的范围，即可。【详解】时，由得（画图确定只有两个解），故有3个零点等价于有1个零点，画出的图像，数形结合可得实数的取值范围是，故选B.【点睛】本道题考查了函数的性质，考查了数形结合思想，难度中等。11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算表面积，即可。【详解】该几何体是一个四棱锥，在长方体中画出该四棱锥如图，则，则. 故选A.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，考查了椎体表面积计算方法，难度中等。12.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。【详解】设，由线段的中垂线过点得，即，得，即，得，解得，故，故选D.【点睛】本道题考查了椭圆的性质，考查了离心率的计算方法，关键构造关于e的不等式，计算范围，即可，难度偏难。第二部分非选择题 二、填空题.请将答案填在答题卡的相应位置上.13.函数在处的切线方程是_.(其中为自然对数的底数)【答案】【解析】【分析】求导，计算斜率，计算切点坐标，结合直线点斜式计算方法，即可。【详解】，故，切点为，故切线方程为，即.【点睛】本道题考查了过曲线一点的切线方程计算方法，关键结合导数计算斜率，计算切点的坐标，计算直线方程，难度中等。14.已知双曲线的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是_【答案】【解析】【分析】结合离心率计算公式以及点到渐近线距离公式，计算a,b，即可。【详解】由已知得，一条渐近线方程为，根据焦点到渐近线距离，则，故双曲线的标准方程是.【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了点到直线距离公式，考查了双曲线方程计算方法，难度中等。15.等差数列的前n项和为，对一切恒成立，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】结合等差数列性质，得出首项和公差，计算通项，求和，建立不等式，构造函数，计算最值，即可。【详解】，所以，由得，由函数的单调性及知，当或时，最小值为30，故.【点睛】本道题考查了等差数列的性质，考查了函数计算最值问题，难度偏难。16.体积为的正四棱锥的底面中心为，与侧面所成角的正切值为，那么过的各顶点的球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】结合已知条件，计算该四棱锥的高，构造直角三角形EOB，结合勾股定理，计算半径，计算表面积，即可。【详解】如图，取的中点为，连接，则为与侧面所成的角，由.可设，则，故，得， ，设球半径为，则，即，解得，.【点睛】本道题考查了球表面积计算公式，考查了运用勾股定理解三角形，关键构造直角三角形EOB，建立方程，即可，难度中等。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知分别是锐角的内角的对边，.(1)求；(2)若，且边上的高为，求的周长.【答案】（1）（2）10+2【解析】【分析】（1）利用三角形三角和关系以及正弦两角和公式，展开题目式子，计算角A，即可。（2）结合三角形面积计算公式，建立等式，计算c，结合余弦定理，计算a，即可得出周长。【详解】(1)因，故，因为为锐角三角形，故为锐角，得，故 .（或，因，故，）.(2)由的面积，得 所以的周长为.【点睛】本道题考查了正弦两角和公式，考查了余弦定理，考查了三角形面积计算公式，难度中等。18.如图，在三棱柱中，为的中点，点在平面内的射影在线段上. (1)求证：；(2)若是正三角形，求三棱柱的体积.【答案】（1）见证明；(2) 【解析】【分析】（1）分别证明和，结合直线与平面垂直判定，即可。（2）法一：计算，结合和，即可。法二 :计算，结合，计算体积，即可。法三：结合，计算结果，即可。【详解】(1)证明：设点在平面内的射影为，则，且，因，所以.在中，则，在中，则，故，故.因，故.(2)法一、，由(1)得，故是三棱锥的高，是正三角形，故三棱柱的体积，故三棱柱的体积为. 法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因且高一样，故，故，由(1)得，故是四棱柱的高，故， 故，故三棱柱的体积为.法三、在三棱锥中，由(1)得，是三棱锥的高，6分记到平面的距离为，由得，即，为的中点，故到平面的距离为， .故三棱柱的体积为.【点睛】本道题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱柱的体积计算公式，难度较大。19.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程。非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度。“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档第二档第三档每户每月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）0.610.660.91例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费元.为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）