江苏省镇江市2018-2019学年高一上学期期末数学试题（解析版）

高一数学高一数学 第第卷卷 一、选择题一、选择题. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.与角终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将依次加求得终边相同的最小正角 【详解】.依题意，故选 D. 【点睛】本小题主要考查终边相同的角，考查正角的概念，属于基础题. 2.函数的零点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 令，解方程求得 的值，也即是零点. 【详解】令，即，故选 A. 【点睛】本小题主要考查函数零点的求法，考查指数式和对数式互化，属于基础题. 3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移 个单位 B. 向左平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位 【答案】B 【解析】 【分析】 将转化为，由此得出正确选项. 【详解】即，故只需将向左平移 个单位得到，故选 B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查变换前后解析式的关系，属于基础题. 4.已知角 ， 是中的两个内角，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分又不必要 D. 充要 【答案】D 【解析】 【分析】 将两个条件相互推导，根据能否推出的情况判断正确选项. 【详解】当“”时，由于，在上为减函数，故“”.当 “”时，由于,在上为减函数，可得到“”.故为充要条件.所以本题 选 D. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查余弦函数的单调性，属于基础题. 5.已知函数的零点，则整数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据零点存在性定理，验证，由此判断整数 的值. 【详解】函数的增函数，且，根据零点存在性定理可知，函数零点位于区间 ，故，故选 C. 【点睛】本小题主要考查零点的存在性定理，考查函数的单调性，属于基础题. 6.一个单摆如图所示，以为始边，为终边的角与时间的函数满足：，则单摆完成 次 完整摆动所花的时间为（ ） . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求得函数的最小正周期，然后乘以 得出正确选项. 【详解】函数的周期为， 个周期即，故选 D. 【点睛】本小题主要考查的周期性，考查单摆的知识，属于基础题. 7.已知若角 的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得的值，然后求得的值，进而求得的值. 【详解】由于 终边经过点，则，所以， .故选 A. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查符合函数函数值的计算，考查分段函数求值，属于中档题. 如果一个角 的终边经过点，令，则，这就是三角函数的定义.要求 有多个函数复合而成的函数值，要先从最里面的函数值开始求起，然后逐步求到最外面的函数值. 8.已知函数，则方程的解的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由得到，分别画出和的图像，根据两个函数图像交点的个数，得出 解得个数. 【详解】由得到，画出和的图像如下图所示，由 图可知，解得个数为 ，故选 C. 【点睛】本小 题主要考查函数零点问题的求解策略，考查对数函数和含有分式的函数图像的画法，考查含有绝对值函数图 像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.要判断一个方程有几个解，可以将方程转化为两个函 数，然后利用两个函数图像交点个数来判断. 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 9.已知圆心角为的扇形，其半径为 ，则该扇形的面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 现将转化为弧度制，然后利用扇形面积公式计算扇形面积. 【详解】转化为弧度制是 ，故扇形的面积为. 【点睛】本小题主要考查弧度制和角度制的相互转化，考查扇形的面积公式，属于基础题. 10.若点，均在幂函数的图象上，则实数_ 【答案】9 【解析】 【分析】 设出幂函数的解析式，代入 点坐标求得这个解析式，然后令求得的值. 【详解】设幂函数为，将代入得，所以， 令，求得. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数上点的坐标，属于基础题. 11.已知，则_ 【答案】3 【解析】 【分析】 对原方程分子分母同时除以，转化为的形式，解方程求得的值. 【详解】依题意，解得. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程，属于基础题. 12.计算：_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果. 【详解】依题意，原式 . 【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想 方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的 角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号. 13.已知函数，若对任意都有恒成立，则实数 的取值范围为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先根据 的取值范围，求得的取值范围，对 分成两类，结合不等式，求得 的取值范围. 【详解】由得. 当时， 由得. 当时， 由得. 综上所述， 的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查三角函数值域的求法，考查不等式的性质，考查恒成立问题的求解策略.属于中档 题. 14.求值：_ 【答案】4 【解析】 试题分析： 由题意得 考点：三角函数两角和公式、二倍角公式. 15.已知，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 将已知和联立，解方程求得的值，用二倍角公式求得的值. 【详解】由于，由，解得，所以. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查解二元二次方程的方法，考查二倍角公式的应 用求证，属于中档题.已知这三者其中的一个，都可以通过结合以及 终边 所在的位置，求出另外两个.二倍角的余弦有三个公式，要注意选择合适的公式来计算. 16.某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每 小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中 为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时 的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度 的取值范围为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先利用时的油耗，计算出 的值，然后根据题意“油耗不超过”列不等式，解不等式求得 的取值 范围. 【详解】由于“汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为” ，所以，解得 ，故每小时油耗为，依题意，解得，依题意， 故.所以速度 的取值范围为. 【点睛】本小题主要考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，考查实际应用问题，属 于中档题. 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.设全集，集合，. （1）当时，求集合； （2）若，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）当时，解对数不等式求得集合 ，解一元二次不等式求得集合 ，由此求得两个集合的交集.（2）根据 得到 是 的子集，解对数不等式求得集合 ，根据集合 是集合 的子集列不等式，解不等式求得 的取值范围. 【详解】 （1）当时，由于，即，所以. 由于，即，所以. 所以. （2）因为，所以. 由于，则 所以. 【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查子集的概念及运算.属于基 础题. 18.已知 ， 均为锐角，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角公式求得的值.（2）先根据的取值范围，利用同角三角函数的基本关系式求得 的值.方法一：先求得的值，进而求得的值，利用，利用两角 差的正弦公式展开代入数据求得结果.方法二：先求得的值，由此利用两角差的正弦公式，求 得的值. 【详解】 （1）因为，所以 . （2）因为 ， 为锐角，所以，则. 由于，所以. . 【方法一】因为 为锐角，则，所以， 从而. 则 【方法二】因为 为锐角，则，所以. 则 ， . 从而 . 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查两角和与差的正弦公式，属 于中档题. 19.某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图像时，列表并填入 了部分数据，如表： （1）求函数的解析式，并补全表中其它的数据； （2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； （3）写出函数的单调减区间. 【答案】(1)见解析；(2)图象见解析；（3）单调减区间，. 【解析】 【分析】 （1）根据最大值求得 ，利用已知条件列方程组，求得的值.由此求得的表达式，并将 表格补全.（2）根据表格的数据画出函数的图像.（3）根据图像可知，函数的一个减区间是，加上 函数的周期即得到函数的减区间. 【详解】 （1）因为当时，所以. 由表中数据有：解得 所以. 表中数据补全得表: （2）函数图象见图： （3）因为函数在一个周期内的减区间为， 所以函数的单调减区间，. 【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像，求三角函数解析式，考查三角函数图像的五点作图法，考查 三角函数单调区间的求法，属于中档题. 20.已知函数. （1）若的定义域为（ 是自然对数的底数） ，求函数的最大值和最小值； （2）求函数的零点个数. 【答案】 （1），（2）2 个 【解析】 【分析】 （1）先化简得到的解析式，利用换元法将函数转化为二次函数的形式，根据二次函数的知识求得 的最大值和最小值.（2）先求得的表达式，求得函数的定义域，判断出的奇偶性，当时根 据函数的单调性判断出函数在上存在唯一的零点，根据函数的奇偶性可判断出在定义域内的零点个 数. 【详解】 （1）由于的定义域为， 则设， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，则. （2）函数， 因为 ，所以是偶函数. 当时，在上连续不间断，且单调递增， 又， 则函数在上存在唯一的零点 由于函数为偶函数，则函数在上也存在唯一的零点. 综上，函数在定义域内零点的个数为 个. 【点睛】本小题主要考查复合函数最值的求法，考查利用换元法求函数的最值，考查函数的奇偶性以及单调 性，考查函数的零点问题，属于中档题.对于结构和二次函数类似的函数，可以通过换元法，将函数转化为二 次函数，根据二次函数的对称轴和定义域，求得函数的最大值和最小值. 21.开发商现有四栋楼 ， ， ， 楼 位于楼间，到楼 ， ， 的距离分别为，且 从 楼看楼 ， 的视角为.如图所示，不计楼大小和高度. （1）试求从楼 看楼 ， 视角大小； （2）开发商为谋求更大开发区域，拟再建三栋楼， ， ，形成以楼为顶点的矩形开发区域.规划 要求楼 ， 分别位于楼和楼间，如图所示记，当 等于多少时，矩形开发区域面积最大？ 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】 （1）依题意可知，由此求得，的值，进而求得的值，由此求得从楼 看楼 ， 视角大小.（2）先计算出的长，用 表示出的长，由此求得矩形面积的表达式， 化简后可求得当时，矩形开发区域的面积最大 【详解】 （1）因为楼 到楼 ， 的距离分别为和，到楼 的距离为， 所以百米，百米，百米. 因为从楼 看楼 ， 的视角为，则. 则， 所以 . 又，即. 所以. 答：从楼 看楼 ， 视角的大小为 . （2）在和中， 则在中， 在中， . 记矩形开发区域的面积为， 则 . 又 当时，即时，矩形开发区域的面积最大. 答：当时，矩形开发区域的面积最大. 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查矩形面积的计算，考查三角函数求最值，属于中档题. 22.已知函数. （1）解不等式：； （2）求函数的奇偶性，并求函数在上的单调性； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数 的取值范围. 【答