江西省2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题（精品解析）

江西省南昌市第二中学江西省南昌市第二中学 20192019 届高三上学期第四次月考届高三上学期第四次月考 数学（理）试题数学（理）试题 一、选择题：共一、选择题：共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每个小题给出的四个选项中，只有一项在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是合题目要求的是合题目要求的. . 1.若复数 z， 是虚数单位）是纯虚数，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意首先求得 a 的值，然后确定复数的虚部即可. 【详解】由题意可得：， 满足题意时，有：，解得：，则， 由共轭复数的定义可得：，故复数 的虚部为. 本题选择 C 选项. 【点睛】这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数 的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为 0，也要求虚部不为 0. 2.设集合，则中整数元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 集合 ，. ，整数有 3，4，5，6.共四 个。 故答案为 B。 3.已知 ，,，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合指数函数的性质和幂函数的性质比较大小即可. 【详解】由幂函数的性质可知在区间上单调递增， 由于故，即， 由指数函数的性质可知在区间上单调递增， 由于故，即， 综上可得. 本题选择 D 选项. 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不 相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底 数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数 幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确 4.设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若， 是 在内的射影，则 C. 若 是平面 的一条斜线， 为过 的一条动直线，则可能有 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意逐一考查所给命题是否正确即可. 【详解】逐一分析所给的选项： A 中，在如图所示的正方体中， 若取直线 为， 为，平面 为，平面 为， 满足，但是不满足，题中的说法错误； 由射影定理可知选项 B 正确； 选项 C 中，若，结合线面垂直的性质定理可知，平面 或，题中的说法错误； 选项 D 中，在如图所示的正方体中， 若取平面 为，平面 为，平面 为， 满足，但是不满足，题中的说法错误. 本题选择 B 选项. 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明： （1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线； （2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键. 5.已知数列是公差为 的等差数列，为数列的前 项和.若成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求得数列的首项，然后求解其前 n 项和即可. 【详解】由题意可得：，即：， 解得：，则. 本题选择 A 选项. 【点睛】本题主要考查等比中项的应用，等差数列前 n 项和的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 6.函数ye|lnx|x2|的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先将函数的解析式写成分段函数的形式，然后确定其图像即可. 【详解】由题意可知，当时， 当时， 当时， 结合题中所给的函数图像可知，只有选项 C 符合题意. 本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，分段函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 7.若对于任意都有，则函数图象的对称中心为（ ） A. （ ） B. （） C. （ ） D. （） 【答案】D 【解析】 ， ， 解得：， ，令， 则， 即函数图象的对称中心为（）. 故选：D 8.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：由三视图可得此几何体的直观图如图，由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，底面， ，底面是一个上下边长分别为 和，高为的直角梯形，体积，所以， 故选 B 考点：三视图 9.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数 ，都有 成立，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先整理函数的解析式，然后结合最小正周期公式求解 的值即可. 【详解】由题意可得：， 如果存在实数，使得对任意的实数 ，都有成立， 则满足题意时有：， 结合最小正周期公式可得：，解得：. 本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数的周期公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. 10.在中，点 是所在平面内一点，则当取得最小值时， （ ） A. 24 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先确定三角形的形状，然后建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算确定点 P 的坐标即可求解数量积. 【详解】由可得：， 则，即， 以 点坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，则： ， 当，即时取得最小值， 此时. 本题选择 A 选项. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运 算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用 11.2018 年 9 月 24 日, 英国数学家 M.F 阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起 数学界震动. 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和, 记 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意利用不等式放缩后裂项确定 S 的范围即可. 【详解】由题意可知： ， 且 ， 综上可得：. 本题选择 C 选项. 【点睛】本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了 哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目 的 12.函数满足，若存在，使得成立，则 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意设，则，所以（ 为常数）， ， 令，则，故当时，单调递减；当时， 单调递增 ，从而当时，在区间上单调递增 设，则，故在上单调递增，在上单调递减，所 以 不等式等价于， ，解得，故 的取值范围为选 A 点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数，并 进一步求得函数的解析式，从而得到函数在区间上的单调性然后再根据条件中的能成立将原不 等式转化为，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分分. . 13.已知函数，若，则_ 【答案】-7 【解析】 【分析】 由题意函数，由，求得，进而可求得的值. 【详解】由题意函数， 因为，则，则， 则 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值问题，其中解答中利用函数的奇偶性性和，求得 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14.设实数 x，y 满足则 u的取值范围是_ 【答案】 ， 【解析】 试题分析：令，作出可行域，可知 可视为，连线的斜率，且为关于 的增函 数，所以. 考点：1.线性规划；2.函数的单调性. 【方法点晴】本题主要考查学生的是线性规划的基本知识和复合函数的单调性的应用,属于基础题目.首先要画 出约束条件的可行域,画图时注意观察题中不等式的端点是否有等号,画出的直线有实虚之分,再求出可行域中各 交点坐标,根据目标函数的集合意义,先求出斜率的取值范围,代入函数中转化为单调函数的定义域,从中求出值 域. 15.若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数 的取值范围 【答案】 【解析】 试题分析：,所以函数的极值点为 ，又函数在其定义域内的一个子区 间内存在极值，所以，解之得. 考点：导数与函数单调性、极值. 16.已知三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接 球的大圆面积为_ 【答案】 【解析】 试题分析：如下图所示，设的中点为 ， ，连结，因为，所以，又平面平面 ，所以平面，又因为是等腰直角三角形，所 为的外心，所以球 心 一定在直线上，所以球心 在线段的延长线上，设，则三棱锥外接球 半径，即，解得，所以，所以三棱锥的外接球的大圆面 积. 考点：1.球的切接问题；2.球的性质. 【名师点睛】本题主要考查球的切接问题与球的性质，属中档题；球的切接问题是最近高考的热点之一，解题 的关键是利用所给几何体的特征，找到球心，求出半径；找球心常用方法就是先找到多面体的一个三角形面的 外心，球心在过这个外心且垂直于这个平面的直线上，再利用已知条件求出半径，如本题就釆用这种方法；或 者是看所给多面体是否能放入某个正方体或长方体中，借助正方体或长方体的外接球去求解. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知 （1）当时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为 ，求实数 的取值范围 【答案】 （1）；（2） 【解析】 试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义，去掉绝对值，得到分段函数，可求解不等式的解集；（2） 由题意得，在根据绝对值三角不等式，可得恒成立，从而求解实数 的取值范围 试题解析：（1）当时， 易得解集为 （2） 解集为 ，恒成立， ， 考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题 18.在中，分别是角所对的边，且. （1）求的值； （2）若，求面积的最大值. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （I）由题意，利用正、余弦定理化简得，即可得到答案. （II）因为，由（I）知，由余弦定理得，进而利用基本不等式，得到， 且，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值. 【详解】解：（I）， ， 由正弦定理得， 由余弦定理得，化简得， . （II）因为，由（I）知， 由余弦定理得， 根据重要不等式有，即，当且仅当时“=”成立， . 由，得，且， 的面积. ， . . 的面积 的最大值为. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用 正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利 用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角 形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 19.已知数列的首项， （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前 n 项和 【答案】 （1）证明详见解析；（2） 【解析】 试题分析：本题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前 n 项和等基础知 识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，先将已知表达式取倒数，再分离常 数、用配凑法证明数列是等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出 ，再计算，用错位相减法求和，在化简