甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学（文）试题（精品解析）

高三数学试卷（文科）高三数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法计算即可. 【详解】因为，故选 A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 2.已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 计算出 后可得. 【详解】，故，故选 C. 【点睛】本题考查集合的并，是基础题，注意集合中元素的属性要求. 3.已知函数，则 A. 的最大值为 2 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于对称 D. 为奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简后可得的最值、最小正周期、对称轴方程和奇偶性. 【详解】， ，当且仅当时取最大值，故 A 错. 的最小正周期为，故 B 错. 因为 ，故为函数图像的对称轴，故 C 正确. ，故不是奇函数，故 D 错. 综上，选 C. 【点睛】对于形如的函数，我们可将其化简为，其中， ，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等 4.自古以来“米以食为天” ，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着 重要作用.某机构统计了 20102016 年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确的是 A. 20102016 年全国餐饮收入逐年增加 B. 2016 年全国餐饮收入比 2010 年翻了一番以上 C. 20102016 年全国餐饮收入同比增量最多的是 2015 年 D. 20102016 年全国餐饮收入同比增量超过 3000 亿元的年份有 3 个 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，根据给定的条形图中的数据，逐项判定，即可得到答案。 【详解】由题意，根据给定的条形图，可知从 2010 年2016 年全国餐饮收入是逐年增加的，所以 A,B 选项显 然正确；其中 20102016 年全国餐饮收入同比增量超过 3000 亿元的年份有 2015 年和 2016 年，共两年，选项 D 错误. 【点睛】本题主要考查了统计图表的实际应用问题，其中解答中正确认识条形图，根据条形图中的数据，进行 逐项判定是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。 5.若双曲线的离心率为，则斜率为正的渐近线的斜率为 A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线的离心率为，得，又由的值，进而求解双曲线的渐近线方程，得到答案. 【详解】由题可知，双曲线的离心率为，即， 又由，所以双曲线的渐近线方程为，故选 D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及 其几何性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 6.设 ， 满足约束条件，则的最大值是 A. -4 B. 0 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 画出约束条件所表示的可行域，由，即，把直线平移到可行域的 A 点时，此时目标函 数取得最大值，进而求解目标函数的最大值。 【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图所示， 又由，即，把直线平移到可行域的 A 点时， 此时直线在 y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值， 又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选 C。 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求最大值问题，其中解答中 正确画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，平移目标函数确定最优解，即可求解目标函数的最大值，着 重考查了推理与计算能力，属于基础题。 7.设等比数列的前 项和为 ，若，则 A. -60 B. -40 C. 20 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】 把已知等式转化为关于公比和首项的方程组，解出公比和首项后可得 【详解】设等比数列的公比为 ，由可得 ，解得，故，故选 B 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方 程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列 和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中的三视图可知，该几何体是由一个长、宽均为 2，高为 4 的长方体截去一个长、宽均为 1，高为 4 的 长方体后剩余的部分，利用面积公式即可求解。 【详解】根据题中的三视图可知，该几何体是由一个长、宽均为 2，高为 4 的长方体截去一个长、宽均为 1， 高为 4 的长方体后剩余的部分， 所以该几何体的表面积为，故选 D。 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，及空间几何体的标间的计算，其中根据给定的几何体的 三视图，还原得到空间几何体的结构特征，在利用面积公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解 答问题的能力，属于基础题。 9.下面的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在“”和“”两个空白框中， 可以分别填入 A. 和 是奇数 B. 和 是奇数 C. 和 是偶数 D. 和 是偶数 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给定的程序框图，得到程序框图的计算功能和输出结果，即可得到答案。 【详解】由题意，程序框图中的计算，可知执行框中应填入， 又要求出满足的最小偶数，故判断框中应填入 是偶数，故选 C。 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算功能的应用问题，其中解答中根据改定的程序框图，得到该程序计算 的功能和输出结果的形式，进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。 10.如图，在直四棱柱中， 底面是平行四边形，点 是棱的中点，点 是棱上 靠近的三等分点，且三棱锥的体积为 2，则四棱柱的体积为 A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】 该四棱柱为平行六面体，利用可得四棱柱和三棱锥的体积之比，从而得到所求的体 积 【详解】因为底面是平行四边形，从而四棱柱也是四棱柱，其体积为 ，其中 为到平面的距离， 又，其中为 到平面的距离， 因为平面，从而 ，又故 ，故，选 C 【点睛】不同几何体的体积的关系，应该从而它们具有的相关几何量去讨论，如两个几何体是否有相同的高或 相同的底面，或者它们的高或底面的面积的比值为定值有时还需把复杂几何体分割成若干个简单几何体便于 体积的计算或体积关系的找寻 11.已知函数，则满足的 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，根据函数的解析式，分类讨论，分别求得不等式的解集，即可得到答案。 【详解】由题意，根据函数的解析式可知， 当时，所以当时，恒成立； 当时，解得， 综上，故选 B。 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据分段函数的解析式，合理分类讨论，求解不等 式的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。 12.已知函数，关于 的方程有三个不等的实根，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数讨论函数的性质后可得方程至多有两个解因为有三个不同的解，故方程 有两个不同的解，且，最后利用函数的图像特征可得实 数 的取值范围 【详解】， 当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数； 所以的图像如图所示： 又时，又的值域为， 所以当或时，方程有一个解， 当时，方程有两个不同的解， 所以方程即有两个不同的解， 令，故 ，解得，故选 B 【点睛】复合方程的解的个数问题，其实质就是方程组的解的个数问题，后者可先利用导 数等工具刻画的图像特征，结合原来方程解的个数得到 的限制条件，再利用常见函数的性质刻画的图像 特征从而得到参数的取值范围 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知单位向量 ， 的夹角为 ，向量，若，则_ 【答案】2 【解析】 【分析】 利用得到 的值 【详解】因为，故，所以， ，也即是，解得 故填 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特 别地，两个非零向量垂直的充要条件是. 14.已知为等差数列的前 项和，已知，.若 ， ，成等比数列，则_ 【答案】15 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为 ，则已知条件可转为的方程组，解出后利用可求出 【详解】设等差数列的公差为 ，则 ，故， 所以，因，故，所以 即，填 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方 程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列 和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题 15.若函数的单调递增区间为，则的最小值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 利用二次函数的单调增区间求得，再利用，利用基本不等式可求最小 值 【详解】的对称轴为，故， 又，当且仅当时等号成立，从而的最小值为 ， 填 【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等” ，如果原代数式中没有积为定值或和为定值， 则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 16.在直角坐标系中，抛物线：与圆 ：相交于两点，且两点间的距离为， 则抛物线的焦点到其准线的距离为_ 【答案】 【解析】 【分析】 原点 是抛物线和圆的公共点，设另一个公共点为 ，利用圆的弦长为得到为等腰直角三角形，从 而得到 的坐标，代入抛物线方程可得 的值，它就是焦点到准线的距离 【详解】圆，原点 是抛物线和圆的公共点，设另一个公共点为 ， 因为，故，又因为，故为等腰直角三角形， 因，故，代入抛物线方程得填 【点睛】求不同曲线的交点，一般是联立方程组求解，但抛物线方程和圆的方程联立消元后是高次方程，求其 解不容易，故应该根据两个几何对象的特征求出交点的坐标 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 17.在中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知. （1）求 ； （2）已知，的面积为，求的周长. 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）在中，由正弦定理及题设条件，化简得，即可求解。 （2）由题意，根据题设条件，列出方程，求的，得到，即可求解周长。 【详解】 （1）在中，由正弦定理及已知得， 化简得， ，所以. （2）因为，所以， 又的面积为，则， 则，所以的周长为. 【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利 用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有 角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 18.已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产 100 件产品，且每生产 1 件正品可获利 20 元，生产 1 件次品 损失 30 元，甲，乙两名工人 100 天中出现次品件数的情况如表所示.