2019高考数学中档解答题(三)

中档解答题(三)1.在ABC中,B=3,BC=2.(1)若AC=3,求AB的长;(2)若点D在边AB上,AD=DC,DEAC,E为垂足,ED=62,求角A.2.已知等差数列an中,a1=-11,公差d0,且a2,a5,a6成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=|an|,求数列bn的前n项和Tn.3.某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品进行检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件进行检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0;(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品进行检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品进行检验?4.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面ABC,AB=6,BC=23,AC=26,D,E分别为线段AB,BC上的点,且AD=2DB,CE=2EB,PDAC.(1)求证:PD平面ABC;(2)若直线PA与平面ABC所成的角为4,求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角.5.平面直角坐标系xOy中,倾斜角为的直线l过点M(-2,-4),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2=2cos .(1)写出直线l的参数方程(为常数)和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与C交于A,B两点,且|MA|·|MB|=40,求倾斜角的值.6.设函数f(x)=|x-a|+x+2a(a0,aR).(1)当a=1时,解不等式f(x)5;(2)记f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最小值.答案全解全析1.解析(1)设AB=x,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,即32=x2+22-2x·2·cos3,解得x=6+1或x=1-6(舍去).AB的长为6+1.(2)ED=62,AD=DC=EDsinA=62sinA.在BCD中,由正弦定理,得BCsinBDC=CDsinB.AD=DC,BDC=2A,2sin2A=22sinAcosA=62sinAsin3,cos A=22,A=4.2.解析(1)a2,a5,a6成等比数列,a52=a2a6,即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+5d),2a1d+11d2=0.又d0,a1=-11,d=2,an=-11+(n-1)×2=2n-13.(2)设数列an的前n项和为Sn,则Sn=n(a1+an)2=n2-12n.an=2n-13,当n6时,an<0;当n7时,an>0,当n6时,Tn=|a1|+|a2|+|an|=-a1-a2-an=-Sn=12n-n2;当n7时,Tn=|a1|+|a2|+|a6|+|a7|+|an|=-a1-a2-a6+a7+an=-S6+Sn-S6=Sn-2S6=n2-12n-72.综上可得,Tn=12n-n2,n6,n2-12n-72,n7.3.解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18.因此f '(p)=C2022p(1-p)18-18p2(1-p)17=2C202p(1-p)17(1-10p).令f '(p)=0,得p=0.1,当p(0,0.1)时, f '(p)>0;当p(0.1,1)时, f '(p)<0.所以f(p)的最大值点p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知YB(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品进行检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余下的产品进行检验.4.解析(1)证明:AC=26,BC=23,AB=6,AC2+BC2=AB2,ACB=2,cosABC=236=33.又易知BD=2,CD2=22+(23)2-2×2×23cosABC=8,CD=22,又AD=4,CD2+AD2=AC2,CDAB.平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,CD平面PAB,CDPD,PDAC,ACCD=C,PD平面ABC.(2)由(1)知PD,CD,AB两两互相垂直,可建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,直线PA与平面ABC所成的角为4,即PAD=4,PD=AD=4,则A(0,-4,0),C(22,0,0),B(0,2,0),P(0,0,4),CB=(-22,2,0),AC=(22,4,0),PA=(0,-4,-4).AD=2DB,CE=2EB,DEAC,由(1)知ACBC,DEBC,又PD平面ABC,PDBC,PDDE=D,CB平面PDE,CB=(-22,2,0)为平面PDE的一个法向量.设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),则nAC,nPA,22x+4y=0,-4y-4z=0,令z=1,得x=2,y=-1,n=(2,-1,1)为平面PAC的一个法向量.cos<n,CB>=-4-24×12=-32,平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为32,故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为30°.5.解析(1)直线l的参数方程为x=-2+tcos,y=-4+tsin(t为参数),由sin2=2cos ,得2sin2=2cos ,将x=cos ,y=sin 代入得曲线C的直角坐标方程为y2=2x.(2)把直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2-(2cos +8sin )t+20=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,由一元二次方程根与系数的关系得,t1+t2=2cos+8sinsin2,t1t2=20sin2,根据直线的参数方程中参数的几何意义,得|MA|·|MB|=|t1t2|=20sin2=40,得=4或=34.又=-(2cos +8sin )2-80sin2>0,所以=4.6.解析(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,故f(x)=2x+1,x>1,3,-2x1,-2x-1,x<-2.当x>1时,由2x+15,得x2,故1<x2;当-2x1时,由35,得xR,故-2x1;当x<-2时,由-2x-15,得x-3,故-3x<-2,综上,不等式f(x)5的解集为-3,2.(2)f(x)=|x-a|+x+2a(x-a)-x+2a=a+2a,所以g(a)=a+2a,因为a+2a=|a|+2a2|a|·2a=22,当且仅当|a|=2a,即a=±2时,取“=”,所以g(a)min=g(±2)=22.