四川省成都市龙泉第二中学2018届高三10月月考数学（理）试题（精品解析）

成都龙泉二中成都龙泉二中 20152015 级高三上学期级高三上学期 1010 月月考试题月月考试题 数学（理工类）数学（理工类） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1.集合，集合，全集，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 故选 A 2. 是虚数单位，复数，则 的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由，得 1i， 的共轭复数是 故选 C 3.已知等比数列的各项都为正数, 且 ， ， 成等差数列,则的值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意，等比数列的各项都为正数, 且成等差数列，则 （负舍） ， ，选 A 点睛：本题主要考查等比数列的性质，灵活应用等比数列的性质和注意题设等比数列的各项都为正数 是解题的关键 4.已知随机变量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意有正态密度函数的图象关于直线对称,正态密度函数的图象与 轴围成的面积为 ,所以有 ,选 . 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 该几何体为半圆柱，底面为半径为 1 的半圆，高为 2，因此表面积为 , 选 D. 6.已知函数，用表示中最小值，则函数 的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 由题意，作出的图象如图所示，由图象，得函数的零点有三个：；故选 C. 7.在中，是角 A，B，C，成等差数列的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也必要条件 【答案】B 【解析】 在 中， 或 故是角 成等差数列的必要不充分条件 故选 B 【点睛】本题考查三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，对 进行恒等 变形，探究其与 成等差数列是否等价是解答本题的关键 8. 某射手的一次射击中，射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 02、03、01，则此射手在一次射击 中成绩不超过 8 环的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：此射手在一次射击中成绩不超过 8 环的概率故 C 正确 考点：对立事件概率 9.若函数 的图象如图所示，则（ ） A. 1：6：5：8 B. 1：6：5：（-8） C. 1：（-6）：5：8 D. 1：（-6）：5：（-8） 【答案】D 【解析】 由图象可知， 分母必定可以分解为 在 时有 故选 D 10.若函数上不是单调函数，则实数 k 的取值范围（ ） A. B. 不存在这样的实数 k C. D. 【答案】D 【解析】 ，令 解得 或 即函数 极值点为 若函数上不是单调函数， 则 或 解得 故选 D 【点睛】本题考查函数单调性与导数的关系，其中根据连续函数在定区间上不是单调函数，则函数的极值 点在区间上，构造不等式是解答的关键 11.如右图所示的程序框图输出的结果是（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 略 12.已知函数，若函数在区间上有 4 个不同的零点， 则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,显然函数 为增函数,且,所以函数 在 上为减函数,在 上为增 函数, ,由于 ,所以 在 上为增函数, 在同一坐标系中画出 与的 图象,由于有 4 个不同的交点,所以有 ,求出 ，选 C. 点睛: 本题主要考查函数零点的个数, 属于中档题. 本题思路: 分析函数在上的单调性, 画出函 数和在上的图象, 函数 在有 4 个不同的零点,等价于函数和 在上的图象有 4 个不同的交点, 根据图象, 找出条件, 解出不等式即可. 考查了等价转化和 数形结合思想. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 题，每小题题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13.已知 是锐角的外心，若 ，则_ 【答案】1 【解析】 如图，由得： 设 外接圆半径为 ，则| 在 中由正弦定理得： 即| 故答案为 14.在的展开式中，含项的系数是 （用数字填写答案） 【答案】 【解析】 试题分析：，所以由，得含项的系数是 考点：二项式定理 【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数. 15.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等 于 【答案】 【解析】 试题分析：抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以所要求的三角形的面积为 ； 考点：1抛物线的几何性质；2双曲线的几何性质； 16. 对某同学的 6 次物理测试成绩（满分 100 分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物 理成绩的以下说法：中位数为 84；众数为 85；平均数为 85；极差为 12；其中，正确说法的序 号是_ 【答案】 【解析】 试题分析：将图中各数按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91，所以中位数为，众数为 83，平均数为，极差为，故正确 考点：1、茎叶图；2、中位数、众数、平均数；3、极差 三、解答题. 17.设数列各项为正数，且. （）证明：数列为等比数列； （）令，数列的前 项和为，求使成立时 的最小值. 【答案】 （）证明见解析；（） . 【解析】 试题分析：（）证明数列为等比数列的基本方法为定义法，即求证数列相邻两项的比值为同 一个不为零的常数：，其中需要说明及 （）由于为一个等比数列，所以根据等比数列求和公式得，因 此不等式转化为，解得 试题解析：（）由已知，则， 因为数列各项为正数，所以， 由已知， 得. 又， 所以，数列是首项为 1，公比为 2 的等比数列.6 分 （）由（）可知， ， 则. 不等式即为， 所以， 于是成立时 的最小值为 6.12 分 考点：等比数列的概念、等比数列通项公式与前 项和 【方法点睛】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定； 若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 等比数列的判定方法 (1)定义法：若q(q 为非零常数)或q(q 为非零常数且 n2)，则an是等比数列； (2)等比中项法：在数列an中，an0 且 aan·an2(nN*)，则数列an是等比数列； (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 anc·qn(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)，则an是等比数列； (4)前 n 项和公式法：若数列an的前 n 项和 Snk·qnk(k 为常数且 k0，q0,1)，则an是等比数列. 18.在中,为上的点, 为上的点,且 . （1）求的长; （2）若,求的余弦值. 【答案】(1) ;(2). 【解析】 试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。 （1）中，在中可得的大小，运用余弦定理得到关 于的一元二次方程，通过解方程可得的值；（2）中先在中由正弦定理得，并根据 题意判断出为钝角，根据求出。 试题解析：（1）由题意可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 整理得， 解得： 故的长为。 （2）在中，由正弦定理得， 即 所以， 所以 因为点 在边上，所以， 而， 所以只能为钝角， 所以， 所以 19. 近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病为了解三高疾 病是否与性别有关，医院随机对入院的 60 人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 患三高疾病不患三高疾病合计 男630 女 合计36 （1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽人，其中女性抽多少人？ （2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性 别有关？ 下面的临界值表供参考： 0150100050025001000050001 20722706384150246635787910828 （参考公式，其中） 【答案】 （1）3 人;（2）有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系 【解析】 试题分析：（1）分层抽样是按比例抽样，故首先确定抽样比为 ，从而可确定从女性中抽取的人数分别为； 人；（2）根据表中数据，带入统计量计算公式中，然后与临界值表中数据比较即可 试题解析：（1） 患三高疾病不患三高疾病合计 男24630 女121830 合计362460 在患三高疾病人群中抽人，则抽取比例为 女性应该抽取人. 6 分 （2）8 分 ， 10 分 那么，我们有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系 12 分 考点：独立性检验和分层抽样. 20.已知椭圆 C：的右焦点为 F，右顶点为 A，设离心率为 e，且满足 ，其中 O 为坐标原点 （）求椭圆 C 的方程； （）过点的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，求OMN 面积的最大值 【答案】（）；（） 【解析】 试题分析：（1）根据，解得 c 值，即可得椭圆的方程； （）联立 l 与椭圆 C 的方程，得, 得，所以，又 O 到 l 的距离所以OMN 的面积求最值即可. 试题解析：（）设椭圆的焦半距为 c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| = 所以，其中，又，联立解得， 所以椭圆 C 的方程是 （）由题意直线不能与 x 轴垂直，否则将无法构成三角形 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设其斜率为 k，那么 l 的方程为 联立 l 与椭圆 C 的方程，消去 y，得 于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是 =，这显然大于 0 设点， 由根与系数的关系得，所以， 又 O 到 l 的距离 所以OMN 的面积，那么 ，当且仅当 t = 3 时取等 所以OMN 面积的最大值是 点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥 曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题， 故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定 理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用 21.已知函数 ， （）当 时， 恒成立，求 的取值范围； （）当 时，研究函数的零点个数； （）求证： (参考数据：) 【答案】(); ()当时无零点；当时有一个公共点. ()见解析. 【解析】 【试题分析】 （1）构造函数借助导数知识运用分类整合思想分析探求；（2）构造函数运用导数知识研究 函数的图像变化情况，确定函数的图像的交点的个数；（3）借助（1） 、 （2）的结论运用缩放的方法进行 分析推证： ()令则 若，则，在递增，即在 恒成 立，满足，所以； 若，在递增，且 且时，则使进而在递减，在递增， 所以当时，即当时， ，不满足题意，舍去； 综合，知 的取值范围为. ()依题意得，则， 则在上恒成立，故在递增， 所以，且时，； 若，即，则，故在递减，所以， 在无零点；若，即，则使，进而在递 减，在递增，且时，在上有 一个零点，在无零点，故在有一个零点. 综合，当时无零点；当时有一个公共点.