山东省潍坊市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高一数学高一数学 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题一、选择题. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.满足条件的集合的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 先由可知是的子集，且中必然含有元素 ，列举即可写出结果. 【详解】因为，所以且，所以可能为或，共 2 个； 故选 C 【点睛】本题主要考查集合间的关系，依题意列举即可，属于基础题型. 2.函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得，所以且，即定义域为， 故选 B 【点睛】本题主要考查函数的定义域，由已知解析式的函数求其定义域，只需求使解析式有意义的 的范 围，属于基础题型. 3.已知函数 f(x)=，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由内到外逐步代入,即可求出结果. 【详解】因为，所以，所以. 故选 C 【点睛】本题主要考查求分段函数的值，由内向外逐步代入即可，属于基础题型. 4.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 结合指数函数与对数函数的性质，即可判断出结果. 【详解】因为，,即，故选 A. 【点睛】本题主要考查比较函数值大小的问题，可结合指数函数与对数函数的单调性确定，属于基础题型. 5.下列函数中与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 判断出奇偶性，以及其在上的单调性，即可判断出结果. 【详解】令，则，所以为偶函数，故排除 BC，又时， 在上单调递增，故排除 A，选 D. 【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，由复合函数同增异减的原则即可判断出结果,属于基础题型. 6.若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 由圆心位置确定 ， 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果. 【详解】因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线 的斜率， 轴上的截距为，所以直线不过第一象限. 【点睛】本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型. 7.设 ， 为两个不同的平面， ， 为两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】 由空间中点线面位置关系可逐项判断. 【详解】对于 A，若，则 内的直线与 内的直线可能平行或异面，故 A 错； 对于 B，若，则或，又,所以，故 B 正确； 对于 C，由一个平面内的两条相交直线都平行与另一个平面，则两平面平行，可判断 C 错； 对于 D，若可得或或 与 相交，所以由不能推出，故 D 错； 选 B 【点睛】本题主要考查与空间中点线面的位置关系有关的命题真假的判断，熟记线面位置关系，线线位置 关系即可，属于基础题型. 8.已知正方体的表面积为 24，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由正方体的表面积求出正方体的棱长，连结交于点 ，易知平面，所以由棱锥的体 积公式即可直接求解. 【详解】设正方体的棱长为 ，因正方体的表面积为 24， 所以，所以； 连结交于点 ，则，所以在正方体中，平面， 即平面，所以是四棱锥的高，且， 又， 所以 ； 故选 C 【点睛】本题主要考查几何体的体积，熟记棱锥的体积公式即可求解，属于基础题型. 9.已知直线，若，且，则的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】 由可得，从而可求出 ；由可得，可求出 ，从而可得出结果. 【详解】因为，所以，即，所以； 由可得，即，解得， 所以，故选 D. 【点睛】本题主要考查由两直线平行或垂直的关系，求参数的值的问题，熟记直线垂直或平行的充要条件， 即可求解，属于基础题型. 10.函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由二次函数和对数函数的性质，即可判断出结果. 【详解】当时，单调递增，开口向上，不过原点，且对称轴，可 排除 AB 选项； 当时，单调递减，开口向下，可排除 D，故选 C 【点睛】本题主要考查函数的图像问题，通过对数函数的单调性，以及二次函数的对称性和开口方向，即 可判断出结果，属于基础题型. 11.九章算术是世界数学发展史上的一颗璀璨明珠，书中商功有如下问题：今有委菽依垣，下周三 丈，高七尺，问积及为菽各几何？其意思为：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为 3 丈，高 7 尺，问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆是多少斛？主人欲卖掉该堆菽，已知圆周率约为 3，一 丈等于十尺，1 斛约为 2.5 立方尺，1 斛菽卖 300 钱，一两银子等于 1000 钱，则主人可得银子（ ）两 A. 40 B. 42 C. 44 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】 先由圆锥体积公式求出半个圆锥的体积，结合大豆的单价即可求出结果. 【详解】因为半圆锥的底面半圆弧长为 30 尺，所以可得底面圆的半径为，又半圆锥的高为 7 尺， 所以半圆锥的体积为立方尺斛， 所以主人可得银子两. 故选 B 【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，熟记公式即可，属于基础题型. 12.已知函数，则函数的零点的个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 先由时，可知，是以 2 为周期的函数， 作出以及的图像，由图中可直观的看出两函数的交点个数， 即函数的零点的个数. 【详解】因为时，所以，故时，函数是以 2 为周期的函数；又函数 的零点的个数即是函数与图像交点的个数，所以作出函数和 的图像，由图像可得两函数的交点个数恰好有 9 个，所以函数的零点的个数是 9，故选 C 【点睛】本题主要考查函数零点个数 的问题，数形结合的思想是处理此类问题最常用的方法，属于常考题型. 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13.计算_ 【答案】3 【解析】 【分析】 由指数幂运算以及对数运算法则，即可求出结果. 【详解】,故答案为 3 【点睛】本题主要考查指数幂运算以及对数运算法则，属于基础题型. 14.直线和直线的距离是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先将化为，再由两条平行线间的距离公式即可求解. 【详解】将直线化为，显然与直线平行， 所以两平行线间的距离为， 故答案为 【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，熟记公式即可求解，属于基础题型. 15.四面体中，底面为等腰直角三角形， 为中点，请从以下平面 中选出两个相互垂直的平面_ （只填序号） 平面平面平面平面平面 【答案】，（选对一组即可） 【解析】 【分析】 根据题意可先证直线平面；平面，从而可得出结论. 【详解】因为， 为中点，所以，,所以平面； 又平面，平面，所以可知垂直，垂直； 又底面为等腰直角三角形， 所以，所以，所以平面； 又平面，所以可知垂直； 故答案可以是，（选对一组即可） 【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，由线面垂直引出面面垂直，熟记定理即可，属于常考题型. 16.已知函数 在区间上是增函数，则实数 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由分段函数在给定区间内恒增，可得每一段都为增，并且位置要着重比较，列不等式即可求解. 【详解】因为与在区间上都为增函数，所以为使 在区间 上是增函数，只需即可，解得. 故答案为. 【点睛】本题主要考查分段函数在给定范围内单调的问题，只要同时满足每段的单调性一致以及整体单调 即可，属于常考题型. 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知全集，集合，集合. （1）若，求，； （2）若，求实数 的取值范围. 【答案】 （1），（2） 【解析】 【分析】 （1）先由不等式求出集合 ，再将代入集合 ，根据集合的混合运算即可求出结果； （2）由得出之间的包含关系，从而可求出结果. 【详解】 （1）， ， . （2）， 须满足， . 【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记相关概念即可求解，属于基础题型. 18.四边形是圆柱的轴截面， 为底面圆周上的一点，. （1）求证：平面； （2）求圆柱的表面积. 【答案】 （1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理，即可证明平面； （2）先求出圆柱底面圆的半径，进而可根据圆柱的表面积公式，求出结果. 【详解】 （1）证明：平面是圆柱的轴截面， 平面，平面， 又 为底面圆周上一点，为直径， 又，平面 （2）在中 ， 底面圆的半径，又 圆柱侧面积为， 上下两底面面积为， 圆柱的表面积为. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，以及圆柱的表面积公式，需要考生熟记线面垂直的判定定理 以及几何体的表面积公式，属于基础题型. 19.已知的顶点坐标为，直线 经过点 且与直线平行，点 和点 关于直线 对 称. （1）求直线的方程； （2）求外接圆的方程. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 (1)先由题意求出直线 的方程，再由点 和点 关于直线 对称，确定直线的斜率，由点斜式写出直线 的方程即可； （2）可结合（1）的结果先求出点 C 的坐标，再由待定系数法设出圆的一般方程，由三点坐标代入 得出方程组,求解即可；也可根据题意求出圆心坐标以及半径，得到圆的标准方程. 【详解】(1） 与直线平行， ，又点 和点 关于直线 对称， 直线与 垂直，又过， 直线的方程为，即. （2）法一：且 经过 的方程为，即. ，的中点， 的垂直平分线方程为，即. 的外接圆圆心即为 与的交点 由，得， 圆心坐标为， . 法二：设 方程为， 又 经过点，即 的方程为，设 ，即， 又的中点在 上 即 由得， 又，都在圆上， 设圆的方程为 ， . 【点睛】本题主要考查直线的方程以及圆的方程，求直线方程，通常用到点斜式；求圆的方程，常用待定 系数法求解，属于基础题型. 20.直三棱柱中， ， 分别为，的中点，. 求证：（1）平面； （2）. 【答案】(1)见证明；(2)见证明 【解析】 【分析】 （1）由线面平行的判定定理即可证明平面； （2）可先由线面垂直的判定定理证明平面，进而可得. 【详解】 （1）取中点 ，连结， 、 分别为，的中点，且， 又 为中点， 直三棱柱中， 四边形为平行四边形， ，平面，平面， 平面. （2）设， 直三棱柱中，平面， 在矩形中，连结， ， 同理， 又， 平面，平面 . 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，需要考生熟记定理即可求解，属于 常考题型. 21.当今社会，以信息化、网络化，智能化为主要特征的信息技术浪潮正在形成一场人工智能革命，智能化 时代的到来，为经济发展注入了新的活力，人工智能技术的进步和智能装备制造业的发展，从根本上减少 了制造领域对劳动力的需求. 某工厂现有职工 320 人，平均每人每年可创利 20 万元，该工厂打算购进一批智能机器人（每购进一台机 器人，需要有一名职工下岗）.据测算，如果购进智能机器人不超过 100 台，每购进一台机器人，所有留 岗职工（机器人视为机器，不作为职工看待）在机器人的帮助