广东省中山市2018-2019学年高一上学期期末水平测试数学试卷（解析版）

开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 1 页，共 14 页 广东省中山市广东省中山市 2018-2019 学年高一上学期期末水平测试学年高一上学期期末水平测试 数学试卷（解析版）数学试卷（解析版） 一、选择题（本大题共 10 小题，共 50 分） 1.下列表示正确的是 () A. B. C. D. 0 2 7 3 【答案】A 【解析】解：在 A 中，0 是自然数，故，故 A 正确； 0 在 B 中，故 B 错误； 2 7 在 C 中，故 C 错误； 3 在 D 中，故 D 错误 故选：A 利用元素与集合的关系直接求解 本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，是基础题 2.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台 形的天池盆接雨水 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺 . 八寸 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 .() 注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体 ( 的体积公式 = 1 3(上 + 上下+ 下) ) A. 2 寸B. 3 寸C. 4 寸D. 5 寸 【答案】B 【解析】解：如图，由题意可知， 天池盆上底面半径为 14 寸，下底面 半径为 6 寸，高为 18 寸 积水深 9 寸， 水面半径为寸， 1 2(14 + 6) = 10 则盆中水的体积为 1 3 × 9(6 2 + 102+ 6 × 10) = 588( 立方寸 ) 平地降雨量等于寸 588 × 142 = 3( ) 故选：B 由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得 答案 本题考查柱、锥、台体的体积求法，正确理解题意是关键，属基础题 3.下列大小关系正确的是 () A. B. 0.43 30= 1 40.3 0 () 0 ? 即或， 0 0, 0). 命题： 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 7 页，共 14 页 “囧函数”的值域为 R； “囧函数”在上单调递增； (0, + ) “囧函数”的图象关于 y 轴对称； “囧函数”有两个零点； “囧函数”的图象与直线至少有一个交点 = + ( 0) 正确命题的个数为 () A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B 【解析】解：当时，画出 (1) = = 1 的图象，如图所示： () = | 结合图象可得，值域肯定不为 R，故 0 错误 且“囧函数”在上没有单调性， (0, + ) 故错误 由，可得，故 () = | ( ) = () 是偶函数，它的图象关于 y 轴对称，故 () 正确 如图，故函数没有零点，故 () 0() 错误 如图可知函数的图象，换为，在四个象限都有图象， () = 1 = 此时与直线的图象至少有一个交点，故正确， = + ( 0) 故选：B 不放设令，得到特殊的函数，先判断函数为偶函数，利用特殊值法，研究函 = = 1 数的值域，单调性，和零点问题，利用数形结合的方法进行判断 此题考查“囧函数”的新定义，关键要读懂题意，只要画出其图象就很容易求解了， 解题过程中用到了数形结合的方法，是一道好题 二、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分） 11. 两条直线与互相垂直，则_ 2 + + 2 = 0 + 4 2 = 0 = 【答案】 8 【解析】解：直线的斜率，直线的斜率， 2 + + 2 = 0 1= 1 2 + 4 2 = 0 2= 4 且两直线与互相垂直， 2 + + 2 = 0 + 4 2 = 0 ，解得 12= 1 ( 1 2) × ( 4) = 1 = 8 故答案为 8 先分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于，即 1 可求出答案 理解在两条直线的斜率都存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于 是解题的关键 1 12. 若在幂函数的图象上，则_ (2,8)()(3) = 【答案】27 【解析】解：设幂函数， = () = 函数图象过点， (2,8) 则， 2= 8 = 3 幂函数， () = 3 (3) = 33= 27 故答案为：27 利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值 ()(3) 本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题 13. 函数的零点为_ () = 23 32+ 1 【答案】1 和 1 2 【解析】解：根据题意， () = 23 32+ 1 若，则， () = 023 32+ 1 = 0 解可得：或 ， = 1 1 2 即函数的零点为 1 和 ， () 1 2 故答案为：1 和 1 2 根据题意，由函数的解析式可得若，则，解可得 x 的值，即 () = 023 32+ 1 = 0 可得答案 本题考查函数零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题 14. 如图，直四棱柱的底面是边长为 1 的正 1111 方形，侧棱长，则异面直线与的夹角大 1= 2111 小等于_ 【答案】 3 【解析】解：连接， 1 11/11 为异面直线与所成的角， 11111 直四棱柱的底面是边长为 1 的正方形， 1111 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 9 页，共 14 页 平面， 1111 ， 11 1 在中， 111= 3 11= 1 11 = 3 11= 3 故答案是 3 根据异面直线所成角的定义，证明已知角为异面直线所成的角，再解三角形求角即 可 本题考查异面直线所成的角 异面直线所成的角的求法是：1、作角 作平行线 ；2、证 .() 角 符合定义 ；3、求角 解三角形 ()() 15. 已知圆柱的底面半径为，高为 2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上， 3 则这个球的表面积为_ 【答案】16 【解析】解：设球的半径为 R，则， 2 = (2 3)2+ 22= 4 = 2 因此，这个球的表面积为 42= 4 × 22= 16 故答案为： 16 直接利用圆柱的底面直径，高、球体的直径 2R 构成直角三角形 其中 2R 为斜边 ，利 () 用勾股定理求出 R 的值，然后利用球体的表面积公式可得出答案 本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算出球体的半径， 考查计算能力，属于中等题 三、解答题（本大题共 6 小题，共 71.0 分） 16. 已知函数的定义域为 A，不等式的解集为 B () = 1(9 3)2 3 4 0 解得：， 0 = ( ,2) 由定义且可知：，得解 = | ( ) = ( 1,2) 本题考查了二次不等式的解法、函数的定义域、即时定义的理解及集合间的包含关系， 属中档题 17. 在中，已知，且 AC 边的中点 M 在 y 轴上，BC 边的中点 (5, 2)(7,3) N 在 x 轴上，求： 顶点 C 的坐标； (1) 直线 MN 的方程 (2) 【答案】解：设， (1) (0,0) 则 AC 中点，BC 中点 ( 5 + 0 2 , 0 2 2 )( 7 + 0 2 , 0+ 3 2 ). 在 y 轴上， ， 5 + 0 2 = 0 0= 5 在 x 轴上， ，即 0+ 3 2 = 0 0= 3. ( 5, 3) ， (2) (0, 5 2)(1,0) 直线 MN 的方程为，即 1 + 5 2 = 1 5 2 5 = 0 【解析】根据中点坐标公式，即可求顶点 C 的坐标； (1) 由点 M、N 的坐标，利用截距式方程解答 (2) 考查了待定系数法求直线方程，中点坐标公式的应用，考查学生的计算能力 18. 通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式为：，其中， = 0 A 是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅 使用标准地震振幅是为了修 0 ( 正测震仪距实际震中的距离造成的偏差 ) 假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 (1) 30，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级 精确到； 0.001(0.1) 级地震给人的震感已比较明显，计算 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大 (2)5 振幅的多少倍？ 以下数据供参考：， (2 0.30103 0.4770) 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 11 页，共 14 页 【答案】解：(1) = 30 0.001 = 30 0.001 = 30000 = 3 + 104 4.5 因此，这次地震的震级为里氏级 4.5 由可得，即， (2) = 0 = 0 0 = 10 = 0 10 当时，地震的最大振幅为； = 8 8= 0 108 当时，地震的最大振幅为； = 5 5= 0 105 所以，两次地震的最大振幅之比是： 8 5 = 0 108 0 105 = 108 5= 1000 答：8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1000 倍 【解析】把最大振幅和标准振幅直接代入公式求解； (1) = 0 利用对数式和指数式的互化由得，把和分别 (2) = 0 = 0 10 = 8 = 5 代入公式作比后即可得到答案 本题考查了函数模型的选择与应用，训练了对数式和指数式的互化，解答的关键是对 题意的理解，是中档题 19. 已知函数对任意实数 x，y 满足，当 ()() + () = ( + ) + 3(3) = 6 时， 0() 3 判断在 R 上的单调性，并证明你的结论 (1)() 是否存在实数 a 使 f 成立？若存在求出实数