江苏省南通市海安高级中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-20192018-2019 学年江苏省南通市海安高中高一（上）期中数学试卷学年江苏省南通市海安高中高一（上）期中数学试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1414 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 1.已知集合 U=0，1，2，3，4，M=0，1，2，则UM_ 【答案】3，4 【解析】 【分析】 根据集合的基本运算进行计算即可 【详解】U=0，1，2，3，4，M=0，1，2， UM=3，4， 故答案为：3，4 【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题 2.若函数 f（x）=（m-3）xm为幂函数，则实数 m 的值为_ 【答案】4 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义，写出实数 m 的值即可 【详解】函数 f（x）=（m-3）xm为幂函数， m-3=1，m=4， 实数 m 的值为 4 故答案为：4 【点睛】本题考查了幂函数的定义，属于基础题 3.已知 f（x）=，则 f（-2）=_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的解析式计算可得答案 【详解】根据题意，f（x）=， 则. 故答案为： 【点睛】本题考查函数值的计算，关键是掌握分段函数解析式的形式，属于基础题 4.设函数 f（x）满足 f（x-1）=4x-4，则 f（x）=_ 【答案】4x 【解析】 【分析】 变形 f（x-1）得出 f（x-1）=4（x-1） ，从而得出 f（x）=4x 【详解】由题意得，f（x-1）=4x-4=4（x-1）， f（x）=4x 故答案为：4x 【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，属于基础题。 5.设函数 g（x）=ex+ae-x（xR）是奇函数，则实数 a=_ 【答案】-1 【解析】 【分析】 根据条件知 g（x）在原点有定义，从而有 g（0）=0，这样即可求出 a 的值 【详解】由于 g（x）在 R 上为奇函数； g（0）=0； 即 1+a1=0； a=-1 故答案为：-1 【点睛】本题考查奇函数的概念，以及奇函数 g（x）在原点有定义时，g（0）=0，属于基础题。 6.=_ 【答案】 【解析】 【分析】 应用对数运算法则计算即可 【详解】原式=. 【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题 7.已知三个数 a=2m，b=m2，c=，其中 0m1，则 a，b，c 的大小关系是_ （用“”或者“”表示） 【答案】cba 【解析】 【分析】 利用指数与对数函数的单调性即可得出答案 【详解】0m1， a=2m1，b=m2（0，1），c=0， 故 a，b，c 的大小关系是 cba 故答案为：cba 【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8.已知函数 f（x）=|x+n|+|x-n|（n 为常数） ，则 f（x）的奇偶性为_ （填“奇函数”、 “偶函数”或“既不是奇函数也 不是偶函数”） 【答案】偶函数 【解析】 【分析】 由 f（-x）=|-x+n|+|-x-n|=|x-n|+|x+n|= f（x）可以判断函数的奇偶性。 【详解】因为函数 f（x）的定义域为 R 且 f（-x）=|-x+n|+|-x-n|=|x-n|+|x+n|= f（x）， 所以函数 f（x）为偶函数 故答案为：偶函数 【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，以及奇偶函数的判断，是基础题 9.已知函数 f（x）=x3，若 f（x2-4）f（2x-1） ，则实数 x 的取值范围是_ 【答案】 （-1，3） 【解析】 【分析】 由题中条件可知 f（x）= x3在 R 上单调递增，从而可由 f（x2-4）f（2x-1）得出 x2-42x-1，解该不等式即可求 出 x 的取值范围 【详解】由于 f（x）= x3在 R 上单调递增； 由 f（x2-4）f（2x-1）得，x2-42x-1； 解得-1x3； 实数 x 的取值范围是（-1，3） 故答案为：（-1，3） 【点睛】考查 f（x）= x3的单调性，增函数的定义，以及一元二次不等式的解法 10.已知 log189=a，18b=5，则 log3645=_（用 a，b 表示） 【答案】 【解析】 【分析】 利用对数的换底公式可知 log3645=，再分别求出 log1845 和 log1836 即可 【详解】解：log189=a，b=log185， a+b=log189+log185=log18（9×5）=log1845， log1836=log18（2×18）=1+log182=； log3645= 故答案为 【点睛】熟练掌握对数的换底公式是解题的关键要善于观察恰当找出底数 11.已知函数，则函数的单调递增区间是_。 【答案】 【解析】 【分析】 本题首先需要求出函数的定义域，然后可通过二次函数性质得知的单调性， 最后通过的单调性得知函数的单调递增区间。 【详解】因为函数， 所以 所以或， 令由二次函数性质可知： 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故当时，函数单调递增， 故函数的单调递增区间是。 【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查函数方程思想，计算复合函数的相关性质的时候，可以将复合 函数转化为基本初等函数，再对每一个基本初等函数进行讨论。 12.已知方程 lnx=3-x 的解在区间（n，n+1）内，且 nZ，则 n 的值是_ 【答案】2 【解析】 【分析】 由题意构造函数，求出函数的零点所在区间即可求出满足题意的 n. 【详解】由题意构造函数， 因为函数和都是在上的单调递增函数， 所以函数是在上的单调递增函数， 因为， 所以， 即函数在区间（2，3）上有零点， 所以的解在（2，3）内。 即方程 lnx=3-x 的解在区间（2，3）内， 所以 n=2. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，结合函数的单调性及零点存在性定理是解决本题的关键。 13.已知函数 f（x）=（x（-1，1） ） ，有下列结论： （1）x（-1，1） ，等式 f（-x）+f（x）=0 恒成立； （2）m0，+） ，方程|f（x）|=m 有两个不等实数根； （3）x1，x2（-1，1） ，若 x1x2，则一定有 f（x1）f（x2）； （4）存在无数多个实数 k，使得函数 g（x）=f（x）-kx 在（-1，1）上有三个零点 则其中正确结论的序号为_ 【答案】 （1） （3） （4） 【解析】 【分析】 （1）根据函数奇偶性的定义判断函数是奇函数即可； （2）先判断函数|f（x）|是偶函数，令 m=0 可判断结论错误； （3）根据分式函数的性质及复合函数的单调性，可判断结论正确； （4）先判断函数 g（x）是奇函数，由函数的表达式可知 x=0 是它的一个零点，然后讨论当 x（0，1）时，函数一 定存在一个零点（），再由奇函数的性质可知，当 x（-1，0）时，一定存在另一个零点（ ），可判断结论正确。 【详解】 （1）因为 f（x）=（x（-1，1）， 所以 f（-x）= 即函数为奇函数， 所以 f（-x）+f（x）=0 在 x（-1，1）恒成立所以（1）正确； （2）因为 f（x）=（x（-1，1）为奇函数， 所以|f（x）|为偶函数， 当 x=0 时，|f（0）|=0， 所以当 m=0 时，方程|f（x）|=m 只有一个实根，不满足题意，所以（2）错误 （3）当 x0，1）时，f（x）=， 令，x0，1），则 t(0，1， 因为函数在区间0，1）单调递减， 而函数，在区间(0，1单调递减， 所以函数 f（x）=，在区间0，1）单调递增。 故 x0，1）时，f（x）f（0）=0， 因为函数 f（x）在（-1，1）上是奇函数， 所以当 x-1，0）时，f（x）单调递增，且 f（x）f（0）=0， 综上可知，函数 f（x）=在（-1，1）上单调递增， 即x1，x2（-1，1） ，若 x1x2，则一定有 f（x1）f（x2）成立，故（3）正确. （4）由 g（x）=f（x）-kx=0，即， 当 x=0 时，显然成立，即 x=0 是函数的一个零点， 当 x（0，1）时，解得，令，解得 即（）是函数的一个零点， 由于 g（-x）= f（-x）+kx=- f（x）+kx=-（f（x）-kx）=- g（x）， 即 g（x）是（-1，1）上的奇函数， 故在区间（-1，0）上一定存在（）是函数的另一个零点， 所以（4）正确 故（1） ， （3） ， （4）正确 故答案为：（1） ， （3） ， （4） 【点睛】本题主要考查分式函数的性质，利用函数奇偶性，单调性以及数形结合是解决本题的关键，综合 性强，难度较大 14.定义在 R 上的函数满足 f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，且当 0x1x21 时，则 =_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，在 f（x）+f（1-x）=1 中，令 x=1 可得 f（1）的值，在中，依次令 x=1、 ，计算可得的 值，同理在 f（x）+f（1-x）=1 中，令 x= 可得的值，进而在中，令 x= ，可得的值，又由 ，分析可得答案 【详解】根据题意，函数满足 f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1， 令 x=1， 可得：f（1）+f（0）=1，即可得 f（1）=1， 又由，令 =1 可得：， 再令 = 可得：，即. 令 x= ， 可得：，即，又由，令 x= 可得：，即. 因为当 0x1x21 时， 而， 所以， 即， 故. 故答案为： . 【点睛】本题考查抽象函数的函数值的计算，关键是分析 f（x）+f（1-x）=1，属于难题 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 80.080.0 分）分） 15.已知集合 A=4，a2+4a+2，B=-2，7，2-a （1）若 AB=7，求 AB； （2）若集合 AB，求 AB 【答案】 （1）-2，1，4，7（2）-2，4 【解析】 【分析】 （1）由 AB=7可得出 7A，从而得出 a2+4a+2=7，解出 a，并验证是否满足集合 B，然后求出 A，B，再求 并集即可； （2）根据 AB 即可得到 2-a=4，从而求出 a，再求出集合 A，B，进行交集的运算即可 【详解】 （1）AB=7； 7A； a2+4a+2=7； 解得 a=-5，或 1； 若 a=-5，则 2-a=7，不符合题意； 若 a=1，则 A=4，7，B=-2，7，1； AB=-2，1，4，7； （2）AB； 2-a=4； a=-2； A=4，-2，B=-2，7，4； AB=-2，4 【点睛】本题考查列举法表示集合的定义，元素与集合的关系，子集的定义，以及交集和并集的运算，属 于中档题 16.已知 f（x）=x2+3ax-4a2 （1）若 a=3，求不等式 f（x）0 的解集； （2）若不等式 f（x）0 对任意 x（-1，2）都成立，求实数 a 的范围 【答案】 （1）（-，-12）（3，+）（2）或 【解析】 【分析】 （1）代入 a 的值，求出不等式的解集即可； （2）根据二次函数的性质得到关于 a 的不等式组，解出即可 【详解】 （1）由 a=3 得不等式为：x2+9x-360， 解得 x-12 或 x3， 所以解集为：（-，-12）（3，+）； （2）由不等式 f（x）0 对任意 x（-1，2）都成立， 结合二次函数的性质，可得：， 即：， 解得：， 所以 a 的取值范围为或