山东省德州市2018届高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

数学（理科）试题数学（理科）试题 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .把正确答案涂在答题卡上把正确答案涂在答题卡上 1.在复平面内，复数 满足，则 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 由，得，则，即 的共轭复数对应的点位于第一象限.故选 A. 2.设集合，若，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为，且 ，即，所以.故选 A. 3.已知直线 ：， ：，若 ：；，则 是 的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 因为直线 ：， ：，所以或，即 是 的必要 不充分条件.故选 C. 点睛：本题考查两条直线平行的判定；由直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若将一般式化成斜截式， 往往需要讨论斜率是否存在，为了避免讨论，记住以下结论： 已知直线，. 则或； . 4.设 ， 满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ） A. B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示） ，当直线向左上方 平移时，直线在 轴的截距 增大，由图象，得当直线过点时， 取得最小值.故选 A. 5.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题： “今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描 述，如图所示，则输出结果 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 模拟执行程序可得，a=1,A=1,S=0,n=1 S=2 不满足条件 S,执行循环体，n=2,a= ,A=2,S= 不满足条件 S，执行循环体，n=3,a= ,A=4,S= 不满足条件 S，执行循环体,n=4,a= ,A=8,S= 满足条件 S，退出循环，输出 n=4 故选 B 6.如图所示的阴影部分是由 轴及曲线围成，在矩形区域内随机取一点，则该点取自阴影部分 的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意，得矩形区域的面积为，阴影部分的面积为，由几何概 型的概率公式，得在矩形区域内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为.故选 A. 7.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过 的直线 与双曲线相交于， 两点，且的中点 为则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意设该双曲线的标准方程为，则且，则 ，即，则，即，则， 所以，即该双曲线的方程为.故选 B. 点睛：本题考查双曲线的标准方程、直线和双曲线相交的中点弦问题；在处理直线和圆锥曲线的中点弦问 题时，往往利用点差法进行处理，比联立方程过程简单，其主要步骤是（1）代点：且； （2）作差；（3）确定中点坐标和直线斜率的关系. 8.已知函数（其中 为自然对数的底数） ，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又令 ，所以有两个零点，因为，所以 ，且当时， ，当时，当时，选项 C 满足条件.故选 C. 点睛：本题考查函数的解析式和图象的关系、利用导数研究函数的单调性；已知函数的解析式识别函数图 象是高考常见题型，往往从定义域、奇偶性（对称性） 、单调性、最值及特殊点的符号进行验证，逐一验 证进行排除. 9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）立方单位。 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由三视图可知几何体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以所求的体积为 ，故选 D. 10.已知点是抛物线 ：的焦点，点为抛物线 的对称轴与其准线的交点，过作抛物线 的切线， 切点为 ，若点 恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意，得，设过的抛物线 的切线方程为，联立，令 ，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得 ， ，则该双曲线的离心率为.故选 C. 11.设偶函数定义在上，其导函数为，当时，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 令，因为是定义在上的偶函数，所以是定义在上的偶函数，又 当时，所以在上恒成立，即在 上单调递减，在上单调递增，将化为，即，则，又 ，所以，即不等式的解集为.故选 C. 点睛：本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根 据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“”和“ ”的联系构造函数. 12.已知的定义域为 ，若对于， ，分别为某个三角形的三边长，则称为 “三角形函数” ，下例四个函数为“三角形函数”的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. 【答案】B 【解析】 由三角形的三边关系，可得“三角形函数”的最大值小于最小值的二倍，因为单调递增， 无最大值和最小值，故排除 A，符合“三角形函数”的条件，即 B 正确， 单调递增，最大值为 4，最小值为 1，故排除 C，单调递增，最小值为 1，最大值为 ，故排除 D.故选 B. 点睛：本题以新定义为载体考查函数的单调性和最值；解决本题的关键在于正确理解“三角形函数”的含 义，正确将问题转化为“判定函数的最大值和最小值间的关系”进行处理，充分体现转化思想的应用. 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13.已知向量，若向量与 垂直，则_ 【答案】-1 【解析】 因为，所以，由向量与 垂直，得，解得. 14.已知呈线性相关的变量 ， 之间的关系如下表所示： 由表中数据，得到线性回归方程，由此估计当 为时， 的值为_ 【答案】 【解析】 由表格得，又线性回归直线过点，则 ，即，令，得. 点睛：本题考查线性回归方程的求法和应用；求线性回归方程是常考的基础题型，其主要考查线性回归方 程一定经过样本点的中心，一定要注意这一点，如本题中利用线性回归直线过中心点 求出 的值. 15.展开式中，各项系数之和为 ，则展开式中的常数项为_ 【答案】 【解析】 令，则，即，因为的展开式的通项为 ，所以展开式中常数项为 ，即常数项为. 点睛：本题考查二项式定理；求二项展开式的各项系数的和往往利用赋值法（常赋值为）,还要注意 整体赋值，且要注意展开式各项系数和二项式系数的区别. 16.已知函数 的图象关于点对称，记在区间的最大值为 ， 且在上单调递增，则实数 的最小值是_ 【答案】 【解析】 因为关于点对称，所以，又， 所以，即， 当时，,，即，令，即， 当时，即实数 的最小值是. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7 7 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知数列的前 项和为满足 （）求数列的通项公式； （）设求数列前 项和 【答案】(1) (2) 【解析】 试题分析：（）利用求得数列的递推公式，再利用等比数列的定义和通项公式进行求 解；（）先利用对数的运算得到，再利用裂项抵消法进行求和. 试题解析:（）当时， -得： ；即， 又；得：， 数列是以 为首项， 为公比的等比数列 ，即， （）， ， 点睛：本题考查的应用、裂项抵消法；（1）利用解题时，要注意其 是一个分段函数，一定要验证 是否满足第二段的表达式；（2）裂项抵消法是一种常考的求和方法，适用 题型主要有：； ； . 18.已知四棱锥中，平面，底面为菱形， 是中点，是的中点， 是上的点 （）求证：平面平面； （）当 是中点，且时，求二面角的余弦值 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 试题分析：（）利用菱形的对角线相互垂直和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直 的判定定理得到线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理进行证明；（）利用第一问的垂直关系建立空间 直角坐标系，写出相关点的点的坐标，求出相关直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公 式进行求解. 试题解析：（）连接， 底面为菱形， 是正三角形， 是中点， 又， 平面，平面， 又，平面， 又平面， 平面平面 解：（）由（）得，两两垂直， 以，所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则 则， ， ， 设是平面的个法向量， 则，取，得， 同理可求，平面的个法向量， 则 观察可知，二面角的平面角为锐角 二面角的平面角的余弦值为 19.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市名男生的身高服从正态分布现从 某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测 量结果按如下方式分组：，得到的频率分布直方图如图所示 （）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； （）求这名男生身高在以上（含）的人数； （）在这名男生身高在以上（含）的人中任意抽取 人，该 人中身高排名（从高到低）在 全市前名的人数记力 ，求 的数学期望 参考数据：若，则， ， 【答案】 （1）高于全市的平均值（2）. 【解析】 试题分析：（）利用频率分布直方图进行求解；（）利用频率分布直方图得到后三组的频率，再求出人数 即可；（）先确定人中以上的有 人，写出随机变量的所有可能取值，利用超几何分布得到每个变 量的概率，利用期望公式进行求解. 试题解析：（）由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为 ， 高于全市的平均值（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为，比较接近全市的平均值） （）由频率分布直方图知，后三组频率为，人数为，即这名男生 身高在以上（含）的人数为人 （）， ， 所以，全市前名的身高在以上，这人中以上的有 人 随机变量 可取 ， ， ， 于是 ， ， ， 20.已知椭圆 ：的左、右有顶点分别是 、 ，上顶点是 ，圆 ：的圆心 到 直线的距离是，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合 （）求椭圆 的方程； （）平行于 轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为 、 ，直线、与 轴的交点记为， 试判断是否为定值，若是，证明你的结论若不是，举反例说明 【答案】(1) (2) 是定值为 【解析】 试题分析：（）写出的方程，利用点到直线的距离和抛物线的焦点坐标进行求解；（）设出直线方 程，联立直线和椭圆的方程，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系、点在圆上及平面向量的 数量积公式进行求解. 试题解析:（）方程为：即为： 由题意得 整理得： ，（舍） 椭圆 ： （）设直线：，令得 方程为： 令得 设，则且 即： 所以是定值为 21.已知 （）当时，求的极值； （）若有 2 个不同零点，求 的取值范围； （）对，求证： 【答案】(1) ，无极大值(2) (3)见解析 【解析】 试题分析：（）求导，利用导函数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；（）求导，讨论 的取 值，研究导函数的符号变换，得到函数单调性和极值，再通过零点的个数确定极值的符号；（）作差构造 函数，求导，利用导数求