北京市东城区2018-2019第一学期高三期末数学文科（word解析）

2018-2019 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷 （文科）（文科） 一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） 1.若集合 A=x|-2x0，B=-2，-1，0，1，2，则 AB=（ ） A. B. C. D. 2, 1 2,0 1,0 2, 1,0 2.下列复数为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 1 + 2 + 2 1 1 (1 )2 3.在平面直角坐标系 xOy 中，角 以 Ox 为始边，终边在射线 y=2x（x0）上，则 cos 的值是（ ） A. B. C. D. 5 5 5 5 2 5 5 2 5 5 4.若 x，y 满足则 x+2y 的最小值为（ ） 2 2 + 3 ? A. 0B. 4C. 5D. 10 5.执行如图所示的程序框图，输入 n=5，m=3，那么输 出的 p 值为（ ） A. 360 B. 60 C. 36 D. 12 6.设 a，b，c，d 为实数，则“ab，cd”是“a+cb+d”的（ ） 第 2 页，共 17 页 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中， 最长棱的长度 为（ ） A. 2 B. 5 C. 2 2 D. 3 8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量地震释放的能量 E（单位：焦耳）与 地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE=4.8+1.5M已知两次地震的里氏震级分别为 8.0 级和 7.5 级，若它们释放的能量分别为 E1和 E2，则 的值所在的区间为（ 1 2 ） A. B. C. D. (1,2)(5,6)(7,8)(15,16) 二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分） 9.已知向量 =（1，-2）， =（2，m），若 ，则 m=_ 10. 在ABC 中，已知 a=1，则 c=_ = 2 10 = 3 5 11. 若等差数列an和等比数列bn满足 a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件 的数列an和bn的通项公式：an=_，bn=_ 12. 过双曲线的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线，交双曲线于 2 2 2 2 = 1(0，0) A，B 两点，O 为坐标原点，若OAB 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率 e=_ 13. 小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况， 她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天） 之间的函数关系： () = 7 20 + 1，0 1 1 5 + 9 20 1 2，1 30. ? 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； 9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 40%； 26 天后，小菲的单词记忆保持量不足 20% 其中正确的结论序号有_（注：请写出所有正确结论的序号） 14. 已知函数 f（x）=x3-4x，g（x）=sinx（0）若x-a，a，都有 f（x） g（x）0，则 a 的最大值为_；此时 =_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分） 15. 已知等差数列an满足 a1=1，a2+a4=10 （）求an的通项公式； （）若，求数列bn的前 n 项和 = + 2 16. 已知函数 () = 32 （）求 f（x）的最小正周期； （）求证：对于任意的，都有 3， 6 () 3 17. 某中学有学生 500 人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了 50 名学生， 收集了他们 2018 年 10 月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整 理，分为 5 组：10，12），12，14），14，16），16，18），18，20，得到 如图所示的频率分布直方图 第 4 页，共 17 页 （）试估计该校所有学生中，2018 年 10 月课外阅读时间不小于 16 小时的学生 人数； （）已知这 50 名学生中恰有 2 名女生的课外阅读时间在18，20，现从课外阅 读时间在18，20的样本对应的学生中随机抽取 2 人，求至少抽到 1 名女生的概率； （）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生 2018 年 10 月课外阅读时间的平均数 18. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面， A1B1B1C1，AA1=AB=2，BC=1，E 为 A1C1中点 （）求证：A1B平面 AB1C1； （）求三棱锥 B-ECC1的体积； （）设平面 EAB 与直线 B1C1交于点 H，求线段 B1H 的长 19. 已知函数，aR () = 1 2 2 （）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程； （）求 f（x）的单调区间 20. 已知椭圆 C：的离心率为 ，其左焦点为 F1（-1，0）直线 2 2 + 2 2 = 1(0) 2 2 l：y=k（x+2）（k0）交椭圆 C 于不同的两点 A，B，直线 BF1与椭圆 C 的另一个 交点为 E （）求椭圆 C 的方程； （）当时，求F1AB 的面积； = 1 2 （）证明：直线 AE 与 x 轴垂直 第 6 页，共 17 页 1.C 解：集合 A 表示-2 到 0 的所有实数， 集合 B 表示 5 个整数的集合， AB=-1，0， 故选：C 直接利用交集运算得答案 本题考查了交集及其运算，是基础题 2.D 解：1+i2=1-1=0，i+i2=i-1，（1-i）2=1-2i+i2=-2i 为纯虚数的是（1-i）2 故选：D 直接利用复数的运算求解即可得答案， 本题考查了复数的基本概念，是基础题 3.A 解：角 以 Ox 为始边，终边在射线 y=2x（x0）上，在终边上任意取一点 （1，2）， 则 cos=， 故选：A 在终边上任意取一点（1，2），再利用任意角的三角函数的定义，求得 cos 的 值 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 4.B 解：作出不等式组对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y=-x+，平移直线 y=- x+，由图象可知当直线经过点 A（2，1） 时， 直线 y=-x+的截距最小，此时 z 最小， 此时 z=2+2×1=4 故选：B 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义即可得到结论 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 5.B 解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 p 的值， 可得程序框图实质是计算排列数的值， 当 n=5，m=3 时，可得：=60 故选：B 模拟执行程序框图，可得程序框图实质是计算排列数的值，由 n=5，m=3 即可计算得解 本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查 6.A 解：由 cd，则“ab”“a+cb+d”，反之不成立 例如取 c=5，d=1，a=2，b=3满足 cd，“a+cb+d”，但是 ab 不成立 cd，则“ab，cd”是“a+cb+d”的充分不必要条件 故选：A 第 8 页，共 17 页 由 cd，则“ab”“a+cb+d”，反之不成立例如取 c=5，d=1，a=2，b=3 本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 7.D 解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱 锥 P-ABC， 其中 PA底面 ABC，ACBC，PA=AC=2，BC=1， PB=3， 在该三棱锥中，最长的棱长为 PB=3 故选：D 由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥 P-ABC，其中 PA底面 ABC，ACBC，PA=AC=2，BC=1，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长 本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是 基础题 8.B 解：lgE=4.8+1.5M， lgE1=4.8+1.5×8=16.8，lgE2=4.8+1.5×7.5=16.05， E1=1016.8，E2=1016.05， =100.75， 100.7590.75=31.5=3×5， 的值所在的区间为（5，6）， 故选：B 先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出 本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键 9.1 解：； ； m=1 故答案为：1 根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出 m 考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算 10.4 2 解：在ABC 中，已知 a=1， sinC=， 由正弦定理可得=， c=4， 故答案为：4 先根据同角的三角函数的关系求出 sinC，再根据正弦定理即可求出 本题考查了正弦定理和同角的三角函数的关系，考查了运算和求解能力，属 于基础题 11.-n 2 解：等差数列an的公差设为 d， 等比数列bn的公比设为 q， a1=-1，b1=2，a3+b2=-1， 第 10 页，共 17 页 可得-1+2d+2q=-1， 即为 d=-q， 可取 d=-1，可得 q=1， 则 an=-1-（n-1）=-n； bn=2 故答案为：-n，2 设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q，由等差数列和等比数列的通项 公式，解方程可得 d，q，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力， 属于基础题 12. 1 + 5 2 解：过双曲线的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线，交双曲 线于 A，B 两点，O 为坐标原点，若OAB 为等腰直角三角形， 可得 c=，即 ac=c2-a2，可得：e2-e-1=0，e1， 解得：e= 故答案为： 利用已知条件列出方程，转化求解即可 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 13. 解：， 可得 f（x）随着 x 的增加而减少，故正确； 当 1x30 时，f（x）=+x， f（9）=+9=0.35， 9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 40%，故正确； f（26）=+26，故错误 故答案为： 由分段函数可得函数的单调性，可判断；由 f（9）的值可判断；由 f（26）的 值可判断 本题考查分段函数的图象和性质，主要是单调性和函数的取值范围的求法， 考查判断能力和运算能力，属于基础题 14.4 2 解：函数 f（x）=x3-4x，g（x）=sinx（0）均为奇函数 只需考虑x0，a，都有 f（x）g（x）0 即可 函数 f（x）=x3-4x 在0，2满足 f（x）0，在2，+）满足 f（x）0， 当且仅当在0，2上 g（x）0，在2，a满足 g（x）0， a 才能取到最大值，（如图） 此