甘肃省庆阳二中2018-2019学年高二上学期第三次月考数学（理）试卷（解析版）

甘肃省庆阳二中甘肃省庆阳二中 2018-20192018-2019 学年高二上学期第三次月考学年高二上学期第三次月考 数学（理）试卷数学（理）试卷 注意事项：注意事项： 1 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2 2请将答案正确填写在答题卡上。请将答案正确填写在答题卡上。 第第 1 1 卷卷 （选择题）（选择题） 一、选择题。一、选择题。 （每小题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：双曲线的顶点在其实轴上，而其实轴为轴，所以令，可得其两顶点为 ，而双曲线的渐近线为，利用点到直线的距离公式可求得顶点到渐近线的距离为 所以本题正确选项为 C. 考点：双曲线的顶点，渐近线，点到直线的距离. 2.已知，是椭圆的两个焦点，过的直线 交椭圆于， 两点，若的周长为 ，则椭圆 方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为 的周长为 ，所以是椭圆的两焦点，椭圆方程为 ，故选 A. 3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于 ，则C的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意可知，故双曲线的方程为，故选 B. 4.若,，且 与 的夹角为钝角,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 空间向量数量积等于各个坐标相乘之和，建立不等式，得到关于 x 的范围，即可。 【详解】,解得,故选 B。 【点睛】本道题考查了空间数量积运算法则，较容易，对应坐标相乘再相加，建立不等式，即可。 5.如右图:在平行六面体中，为 AC 与 BD 的交点，若= ，= ，= .则下列向 量中与相等的向量是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可得 化简得到结果 【详解】由题意可得 故答案为：A 【点睛】本题主要考查向量的加法减法法则,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 6.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于 点，若垂直于 轴，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：设，易求 M 坐标为，在三角形中， 即，由得，答案选 B. 考点：双曲线的性质 7.已知点 为抛物线上的动点,点 在 轴上的射影是, 点坐标为,则的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本道题目通过绘图发现,要求最小值,转化为两点间距离最短,即可得出答案. 【详解】 如图,故,故最短距离为, ,所以,所以 ,故选 C. 【点睛】本道题目考查了抛物线的性质,可以利用点 P 到准线距离,转化为两点间距离最短问题. 8.设分别是椭圆，的左右焦点，过的直线 与 相交于两点，且 成等差数列，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用椭圆性质和等差数列性质，建立等式，即可计算的长。 【详解】建立等式，故，故选 C。 【点睛】本题考查了椭圆性质和等差数列的性质，较容易，建立等式，计算长度，即可。 9.设平面上有四个互异的点 A、B、C、D，已知，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 试题分析：， ，即|AB|=|AC|ABC 的形状是等腰三角形 考点：向量运算 10.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上， 则=“( “ ) A. B. C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 由题知，故， ，故选择 C。 11.在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 ABBB1，则 AB1与 C1B 所成的角的大小为（ ） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75° 【答案】C 【解析】 试题分析：不妨设，则 ，所以直线与所成的角为 考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；异面直线所成的角 12.已知分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若 的最小值为 8 ，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：，等号成立的条件 是，即，因为是右支上一点，所以，解得，因为是双曲 线，所以双曲线的离心率 的取值范围是，故选 考点：1双曲线的性质；2基本不等式求最值 【思路点睛】此题考查了双曲线的几何性质，属于偏难点的基础题型，此题的入手并不难，根据双曲线的 定义，转化分子，然后展开化简，利用基本不等式得到最小值，同时等号成立的条件 得到两个焦半径和分别是多少，利用点 P 在右支，所以，或是利用两边之 和大于第三边，得到离心率对应求离心率的范围问题，经常利用焦半径的范围，或是 两边之和大于第三边，或是两边之差小于第三边求离心率的范围 二、填空题。二、填空题。 （每小题（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.若焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ,则 等于_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用离心率，代入数据，建立等式，计算 m，即可。 【详解】结合，解得 【点睛】本道题考查了椭圆离心率计算公式，较容易，利用，建立等式，即可。 14.设抛物线的焦点为 ，点.若线段的中点 在抛物线上，则 到该抛物线准线的距离 为_。 【答案】 【解析】 试题分析：根据抛物线方程可表示出焦点 F 的坐标，进而求得 B 点的坐标代入抛物线方程求得 p，则 B 点 坐标和抛物线准线方程可求，进而求得 B 到该抛物线准线的距离 解：依题意可知 F 坐标为（ ，0） B 的坐标为（ ，1）代入抛物线方程得=1，解得 p=， 抛物线准线方程为 x= 所以点 B 到抛物线准线的距离为+=， 故答案为 考点：抛物线的定义；抛物线的简单性质 15.已知向量,且与 互相垂直,则_. 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量垂直满足数量积为 0，代入坐标，建立等式，即可得出答案。 【详解】，而，得到 ，解得 【点睛】本道题考查了向量数量积公式，向量垂直，说明数量积为 0，建立等式，计算结果。 16.直线被抛物线截得线段的中点坐标是_. 【答案】 【解析】 【分析】 本道题可以设出交点坐标，然后将直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，即可得出交点坐标。 【详解】设交点分别为，所以中点坐标为 将直线方程代入抛物线方程中，得到，解得代入中点坐标，故中点 坐标为 【点睛】本道题考查了直线与抛物线综合问题，设出交点坐标，将直线方程代入抛物线方程，即 可计算出结果，较容易。 三、解答题。三、解答题。 17.根据下列条件求双曲线的标准方程. （1） 经过点,焦点在 轴上; （2）与双曲线有相同的焦点,且经过点. 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 (1)结合 c 的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数，即可。 （2）结合已知双曲线，设出所求双曲 线方程，代入点的坐标，计算参数，即可。 【详解】 （1）.线的焦点在 轴上 设所求双曲线的方程为 双曲线过点, 解得或 (舍去),故所求双曲线的标准方程为 （2）.所求双曲线与双曲线有相同的焦点, 可设所求双曲线的方程为 双曲线过点 解得或 (舍去),故所求双曲线的标准方程为 【点睛】本道题考查了双曲线方程的求法，结合题意，设出双曲线方程，代入点坐标，计算参数，即可， 属于较容易的题型。 18.已知抛物线的顶点在原点,过点 A(-4,4)且焦点在 x 轴. （1）求抛物线方程; （2）直线 l 过定点 B(-1,0)与该抛物线相交所得弦长为 8,求直线 l 的方程. 【答案】 （1）（2） 【解析】 分析：（1）可先设出抛物线的方程：，然后代入点计算即可； （2）已知弦长所以要先分析斜率存在与不存在的情况， ）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l：x=-1 验 证即可，当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，直线为 联立方程根据弦长公式求解即可. 详解：（1）设抛物线方程为抛物线过点 ，得 p=2 则 （2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l：x=-1 与抛物线交于、，弦长为 4，不合题意 当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，直线为 消 y 得 弦长=解得得 所以直线 l 方程为或 点睛：考查抛物线的定义和标准方程，以及直线与抛物线的弦长公式的应用，注意讨论是解题容易漏的地 方，属于基础题. 19.如图(1)所示,在中, , 、 分别是、上的点,且,将 沿折起到的位置,使,如图(2)所示。若是的中点,求与平面所成角的 大小; 【答案】. 【解析】 【分析】 建立坐标系，分别计算各点坐标，计算平面法向量，结合向量数量积，计算夹角，即可得出答案。 【详解】如图,以 C 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系, 则,. 所以,. 设平面法向量为. 则所以 则 故, 又因为 ,所以. 设与平面所成角的大小为 , 则. 故与平面 所成角的大小为 . 【点睛】本道题考查了直线与平面夹角问题，解决此类题 型，可以通过构建空间直角坐标系，运用空间向量进行解题，即可得出答案。 20.在直三棱柱中,是中点. （1）求证:平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】 （1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】 （1）构造三角形，利用三角形中位线，证明，结合直线与平面平行的判定定理，即可得出答案。 （2）建立空间坐标系，计算各点坐标，计算平面法向量，结合空间向量数量积，计算距离，即可得出 答案。 【详解】 （1）.连结交于 ,连结.因为,平面,平面, 所以平面 （2）.因为为的中点,所以,建立如图所示的坐标系。 则 , 所以 设平面的法向量为,则,取, 所以所求距离 【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定定理，以及利用空间坐标系，计 算点到平面建立，遇到计算距离的立体几何题，都可以考虑构造坐标系进行解答。 21.如图，在四棱锥中，底面梯形中，平面平面，是等边三角形， 已知， （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值 【答案】 （1）见解析；（2）. 【解析】 试题分析：（1）根据勾股定理得到，证出平面即可得证； （2）建立空间直角坐标系，计算得到平面的法向量，以及平面的法向量 ，计算二面角的余弦值即可. 试题解析： （1）证明：在中，由于, ,故 又， ，平面， 又，故平面平面 （2）如图建立空间直角坐标系， ， 设平面的法向量, 由 令, 设平面的法向量, 由，令， ，二面角的余弦值为 22.已知椭圆 E：的离心率，并且经过定点（0,1）. （）求椭圆 E 的方程； （）问是否存在直线，使直线与椭圆交于 A，B 两点，满足，若存在，求 m 值，若不存 在说明理由 【答案】 （）；（）存在， 【解析】 分析：（1）根据离心率的公式和定点坐标求解方程 （2）利用条件，列出交点坐标的关系式，根据韦达定理转化为参数 的关系式求解即可。 详解：（）因为 E 经过点（0， 1） ，所以， 又因为椭圆 E 的离心率为 所以， 所以椭圆 E 的方程为： （）设 （*） 所以， 10 分 由 得 又方程（*）要有两个不等实根， m 的值符合上面条件，所以 点睛：椭圆的几何性质求解方程是常规考点，根据题目的条件利用向量的表达式列出，交点坐标的关系式， 根据韦达定理转化为参数 的关系式求解。