湖南省2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 1 页，共 21 页 2018-2019 学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷 （理科）（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 1.命题“若 mn0，则 m0 且 n0”的逆否命题是（ ） A. 若，则且B. 若，则或 30 2+ 1 3 B. 若是假命题，则 p，q 都是假命题 C. 双曲线的焦距为 2 2 2 3 = 1 2 5 D. 设 a，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面 ，使得，且 / 4.与椭圆 C：共焦点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ 2 6 + 2 2 = 1 =± 3 ） A. B. C. D. 2 2 3 = 1 2 3 2= 12 2 3 = 1 2 3 2= 1 5.已知 p：xR，x2+2x+a0；q：2a8若“pq”是真命题，则实数 a 的取值范 围是（ ） A. B. (1, + )( ,3) C. D. (1,3)( ,1) (3, + ) 6.直线 x+y+2=0 截圆 x2+y2+2x-2y+a-1=0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是（ ） A. B. C. D. 3 4 63 6 7.方程（2x+3y-1）（-1）=0 表示的曲线是（ ） 3 A. 两条直线B. 两条射线 C. 两条线段D. 一条直线和一条射线 8.已知 F1、F2是椭圆 C： + =1（ab0）的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且 2 2 2 2 ，若PF1F2的面积为 9，则 b 的值为（ ） 1 2 A. 1B. 2C. 3D. 4 9.已知空间四面体 D-ABC 的每条边都等于 1，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 1 4 1 4 3 4 3 4 10. 如图，已知椭圆 + =1 内有一点 B（2，2），F1、F2是其左、 2 32 2 16 右焦点，M 为椭圆上的动点，则|+|的最小值为（ ） 1 A. B. C. 4D. 6 4 26 2 11. 如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC-A1B1C1中， D、E 分别为 BB1、A1C1的中点，则异面直线 AD、CE 所成 角的余弦值为（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 1 5 D. 4 5 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 3 页，共 21 页 12. P 为双曲线上一点，F1，F2分别为 C 的左、右焦点， ： 2 2 2 2 = 1(，0) PF2F1F2，若PF1F2的外接圆半径是其内切圆半径的 2.5 倍，则 C 的离心率为（ ） A. 或B. 2 或 3C. D. 2 232 二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分） 13. 已知 O 是空间任意一点，A、B、C、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面， 且=2x+3y+4z，则 2x+3y+4z=_ 14. 有下列几个命题： “若 ab，则 a2b2”的否命题； “若 x+y=0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； “若 x24，则-2x2”的逆否命题； “若 m0，则 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题； 其中真命题的序号是_ 15. 已知点 P（x，y）在椭圆上，则 2x+y 的最大值为_； 2 4 + 2 3 = 1 16. 已知椭圆=1（ab0）上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点， 2 2 + 2 2 若 AFBF，设ABF=，且 ， ，则该椭圆离心率 e 的取值范围为_ 6 4 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分） 17. 已知，已知命题 p：方程表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题 2 2 + 2 6 = 1 q：“函数在 R 上为单调增函数 若“p 或 q”为真命题，“p 且 q” () = (4 ). 为假命题，求实数 m 的取值范围 18. 已知向量，若向量 同时满足下列三个条件： = (2，1， 2) = ( 1，0，1) ； 与 垂直 = 1| | = 3 （1）求向量 的坐标； （2）若向量 与向量 =共线，求向量与夹角的余弦值 (1， 1 2 ，1) 2 + 3 19. 如图，设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|= |PD| 4 5 （1）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程 （2）求过点（3，0），且斜率为 的直线被 C 所截线 4 5 段的长度 20. 如图所示，四棱锥 S-ABCD 中，SA底面 ABCD，ABC=90°，BC=1， = 3 ，ACD=60°，E 为 CD 的中点 = 2 3 （1）求证：BC平面 SAE； （2）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 5 页，共 21 页 21. 已知 F1（-c，0），F2（c，0）为双曲线 C：x2=1（b0）的左、右焦点，过 F2作垂直于 x 轴 2 2 的直线，并在 x 轴上方交双曲线于点 M，且 MF1F2=30° （1）求双曲线 C 的方程； （2）过圆 O：x2+y2=b2上任意一点 Q（x0，y0）作切线 l 交双曲线 C 于 A，B 两个 不同点，AB 中点为 N，若|AB|=|ON|，求实数 的值 22. 已知抛物线 C：y2=2px（p0）与椭圆 C'： +=1 相交所得的弦长为 2p 2 4 152 16 （）求抛物线 C 的标准方程； （）设 A，B 是 C 上异于原点 O 的两个不同点，直线 OA 和 OB 的倾斜角分别 为 和 ，当 ， 变化且 + 为定值 （tan=2）时，证明：直线 AB 恒过定点， 并求出该定点的坐标 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 7 页，共 21 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】D 【解析】 解：命题“若 mn0，则 m0 且 n0”的逆否命题是 “若 m0 或 n0，则 mn0” 故选：D 根据命题“若 p，则 q”的逆否命题是命题“若q，则p”，写出即可 本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题 2.【答案】C 【解析】 解：抛物线方程中 p=2 抛物线焦点坐标为（1，0） 故选：C 根据抛物线方程求得 p，则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点坐标 本题主要考查了抛物线的简单性质属基础题 3.【答案】B 【解析】 【分析】 利用命题的否定形式判断 A 的正误；复合命题的真假判断 B 的正误；双曲线 的焦距判断 C 的正误；异面直线的位置关系判断 D 的正误 本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查 【解答】 解：命题“x0R，x02+13x0”的否定是“xR，x2+13x”满足命题的否定形 式，A 正确； 若 pq 是假命题，则 p，q 都是假命题，不正确，因为两个命题一个是假命题， 则 pq 是假命题，所以 B 不正确； 双曲线的焦距为 2，C 正确； 设 a，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面 ，使得 a，且 b，满足 直线与平面平行的判定定理，平面的基本性质，所以 D 正确. 故选 B 4.【答案】D 【解析】 解：根据题意，椭圆 C：的焦点为（0，±2）， 则要求双曲线的焦点在 y 轴上，且 c=2，设其方程为-=1， 则有 a2+b2=4， 又由双曲线的渐近线为 y=，则有=， 解可得 a2=3，b2=1， 则双曲线的标准方程为：-x2=1； 故选：D 根据题意，求出椭圆 C 的焦点坐标，分析可得要求双曲线的焦点在 y 轴上， 且 c=2，设其方程为-=1，分析可得 a2+b2=4，由双曲线的渐近线方程可 得=，解可得 a、b 的值，将 a、b 的值代入双曲线的方程，计算可得答案 本题考查双曲线的几何性质，涉及椭圆、双曲线的标准方程，注意分析双曲 线的焦点位置 5.【答案】C 【解析】 解：若xR，x2+2x+a0， 则判别式=4-4a0，得 a1， 即 p：a1； 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 9 页，共 21 页 由 2a8 得 a3，即 q：a3， 若“pq”是真命题， 则 p，q 都是真命题，则，即 1a3， 即实数 a 的取值范围是（1，3）， 故选：C 根据条件求出命题 p，q 为真命题的等价条件，结合复合命题“pq”是真命题 与 p，q 的关系进行求解即可 本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题 p，q 为真命题的 等价条件是解决本题的关键 6.【答案】A 【解析】 解：根据题意，圆 x2+y2+2x-2y+a-1=0 的标准方程为（x+1）2+（y-1）2=3-a， 其圆心为（-1，1），半径 r=，a3， 若直线 x+y+2=0 截圆 x2+y2+2x-2y+a-1=0 所得弦的长度为 4，则有（3-a）-（ ）2=4， 解可得：a=-3， 故选：A 根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得圆心与半径，由直线与圆 的位置关系可得（3-a）-（）2=4，解可得 a 的值，即可得答案 本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程与标准方程，属于基础 题 7.【答案】D 【解析】 解：由（2x+3y-1）（-1）=0， 得 2x+3y-1=0 或 即 2x+3y-1=0（x3）为一条射线，或 x=4 为一条直线 方程（2x+3y-1）（-1）=0 表示的曲线是一条直线和一条射线 故选：D 由已知的方程得到 2x+3y-1=0 或然后在满足根式有意义的前提 下化简从而得到方程（2x+3y-1）（-1）=0 表示的曲线 本题考查了曲线与方程，关键是对含有根式方程的化简，是中档题 8.【答案】C 【解析】 解：根据椭圆定义知 PF1+PF2=2a， ， PF1F2为直角三角形， （PF1）2+（PF2）2=（2c）2， 又PF1F2的面积为 9， PF1PF2=9， （2a）2=（PF1+PF2）2 =（PF1）2+（PF2）2+2PF1PF2 =4c2+36， b2=a2-c2=9， b=3， 故选：C 通过椭圆定义知 PF1+PF2=2a，通过可知（PF1）2+（PF2）2=（2c）2，利 用PF1F2的面积为 9 可得PF1PF2=9，通过（PF1+PF2）2=（PF1）2+（PF2） 2+2PF1PF2代入计算即可 开泉涤尘高中数学资源网：http:/www.kaiquanjy.com 第 11 页，共 21 页 本题考查椭圆定义、直角三角形