山东省聊城市第一中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

山东省聊城市第一中学山东省聊城市第一中学 20192019 届高三上学期期中考试届高三上学期期中考试 数学（文）试题数学（文）试题 第第卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，则 M 的非空子集的个数是（ ） A. 15 B. 16 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 先把集合 M 的所有元素求出，再求其非空子集. 【详解】,所以的非空子集为共 7 个，故选 C. 【点睛】本题主要考查集合的子集求解.可以采用列举法，也可以采用公式，集合若有 个元素，则的 子集个数为个，非空子集的个数为个. 2.“p且q是真命题”是“非p为假命题”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：由 p 且 q 是真命题，则得 p 和 q 都是真命题，能得出“非 p 为假命题”； “非 p 为假命题”，得出 p 为真命题，但是得不出“p 且 q 是真命题”，所以选 A 考点：本题考查命题的真假判断，以及充分条件、必要条件、充要条件 点评：解决本题的关键是掌握复合命题的真值表，记住充分条件、必要条件、充要条件的概念 3. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定 【答案】C 【解析】 试题分析：不妨设为直角三角形，则，设三边增加的长度为，则新三角 形的三边长度分别为，则，而 ，所以，因此新三角形为锐角三角形. 考点：余弦定理. 4.函数为的导函数，令则下列关系正确的是( ) A. f(a)f(b) C. f(a)f(b) D. f(|a|)f(b),故选 B. 【点睛】本题主要考查导数的应用.利用导数判断函数单调性，结合单调性来比较函数值的大小. 5.在封闭的正三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若 AB6，AA14，则 V 的最大值是（ ） A. 16 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用正三棱柱的特征，确定球半径的最大值，再利用球的体积公式求解. 【详解】正三角形的边长为 6，其内切圆的半径为，所以在封闭的正三棱柱 ABCA1B1C1内的 球的半径最大值为，所以其体积为，故选 D. 【点睛】本题主要考查组合体中球的体积的求解.球的体积和表面积的求解关键是求出球半径. 6.已知斜率为 的直线 平分圆且与曲线 恰有一个公共点，则满足条件的 值有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】 直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确 定 k 的值. 【详解】圆的圆心为，所以设直线为. 联立，得. 因为恰有一个公共点，所以或者，解得. 综上可得， 的值有 3 个，故选 C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用公共点的个数确定参数，一般是联立方程后，根据 方程解得情况来求解. 7.定义在 R R 上的函数 f（x）满足则 f（2019）的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据函数解析式求解出周期，利用周期求值. 【详解】时， 两式相加可得，所以周期为 6. , 故选 D. 【点睛】本题主要考查利用函数的周期求值.先利用周期把所求化到已知区间，再代入对应的解析式即可. 8.九章算术涉及到中国古代算数中的一种几何体-阳马，它是底面为矩形，两个侧面与底面垂直的 四棱锥，已知网格纸上小正方形的边长为 1，现有一体积为 4 的阳马，则该阳马对应的三视图（用粗实线 画出）可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直及体积为 4，对选项逐一判断即可. 【详解】由三视图可知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，B、D 对应的几何体不符合阳马 的特点， A 对应的阳马体积不是 4，C 对应的阳马体积是 4， 故选 C. 【点睛】本题考查了由三视图还原几何体的问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键， 考查了空间想象能力与运算求解能力. 9.是数列的前 项和,若 则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用求出递推公式，根据递推公式求解. 【详解】当时，； 当时，两式相减可得，. 所以 ,故选 A. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解. 题目条件给出的的关系式，可以通过 转化为只含 的关系式. 10.已知 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用倍角公式，结合函数名的转换求解. 【详解】, ,故选 C. 【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三 角恒等变换公式求解. 11.已知 F1，F2是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若点 F1关于双曲线渐近线的对称点 P 满足 OPF2POF2（O 为坐标原点） ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用对称求出点 P 的坐标，结合OPF2POF2可知，利用两点间距离公式可求得离心率. 【详解】设是关于渐近线的对称点，则有； 解得； 因为OPF2POF2，所以，； 化简可得，故选 B. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求之间的关系式. 12.若函数在上为增函数，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用对 x恒成立，令 x+1=t(10 时， 解得. 当 a0 时，g(0)=，-=，x恒成立. 综上， 的取值范围为. 故选 B. 【点睛】本题是个中档题主要考查用导数法研究函数的单调性，其基本思路是：当函数为增函数时，导 数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的 最值问题，体现了转化的数学思想，很好的考查了学生的计算能力 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 9090 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .将答案填在题中横线上将答案填在题中横线上. 13.若向量与共线且方向相同，则_ 【答案】2 【解析】 【分析】 向量共线可得坐标分量之间的关系式，从而求得 n. 【详解】因为向量与共线，所以；由两者方向相同可得. 【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示，熟记共线向量的充要条件是求解关键. 14.已知复数,给出下列几个结论: ; ; 的共轭复数为; 的虚部为. 其中正确结论的序号是_. 【答案】 【解析】 【分析】 先化简复数，再进行判断. 【详解】；，故错误；，故正确；，故正确； 的虚部为，故错误.故填. 【点睛】本题主要考查复数的运算，模长的求解等，熟知复数的运算法则是解决这类问题的关键. 15.已知实数 x，y 满足条件则的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 作出可行域，结合图形可得. 【详解】作出可行域，如图， 可以看做可行域内的点到点的距离的平方，可以看出在点处取临界值，所以可得 的范围为. 【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示的区域及最值求解.作出图形，结合表达式的几何意义，可以方 便求解. 16.若两个锐角满足，则的最大值是_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知条件，利用两角和的正切公式，得，再根据基本不等式和换元法得到一元 二次不等式，进而求解. 【详解】， ，令， 则，即， 当且仅当时取等号，的最大值时. 故填： 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，涉及了两角和的正切公式等知识，应用了换元转化法求解；利用 基本不等式求最值时，必须同时满足三个条件“一正，二定，三相等”. 三、三、 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 个小题个小题. .共共 7070 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17.已知，其中向量,(). （1）求的最小正周期和最小值； （2）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 、 、 ，若，a=，求边长 的值. 【答案】 （1）最小正周期为 ，最小值为-2； （2）c =1 或 c=3. 【解析】 【分析】 （1）先利用向量数量积的坐标表示求出的表达式，再求解周期和最值. （2）先求角 A，再利用余弦定理求出 c. 【详解】(1) f(x)=(sin2x,2cosx)·(,cosx)-1=sin2x+cos2x=2sin（2x ）, f(x)的最小正周期为 ，最小值为-2. (2) f( )=2sin（ ）=sin（ ）, A 或 （舍去）, 由余弦定理得 a2b2c22bccosA,即 1316c2-4c,即 c2-4c+3=0, 从而 c =1 或 c=3. 【点睛】本题主要考查三角函数的性质和余弦定理求解三角形.三角函数的性质求解，一般是先化简解 析式，再进行求解. 18.设 f（x）|xa|xa|，当时，不等式 f（x）2 的解集为 M；当时，不等式 f（x）1 的解集为 P （1）求 M，P； （2）证明：当 mM，nP 时，|m2n|12mn| 【答案】 （1）M=x|-1x1,； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用零点分段讨论法去掉绝对值，再求解一元不等式； （2）利用作差比较法可以证明. 【详解】 （1）解：当时， 结合图象知，不等式的解集， 同理可得，当时，不等式的解集 （2）证明：， ， ，即 【点睛】本题主要考查含有绝对值的不等式的解法，一般是利用零点分段讨论法求解；不等式的证明 常用比较法处理. 19.如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PCD平面 ABCD，BADCDA90°， （1）求证：平面 PAD平面 PBC； （2）求直线 PB 与平面 PAD 所成的角； （3）在棱 PC 上是否存在一点 E 使得直线平面 PAD，若存在求 PE 的长，并证明你的结论 【答案】 （1）见解析； （2）； （3）存在 为中点,即 满足条件. 【解析】 【分析】 （1）先证平面； （2）作出直线 PB 与平面 PAD 所成的角，再求出角的正切值，从而可得角； （3）先假设存在，确定点的位置，再求出长度. 【详解】证明(1)因为BADCDA90°， 所以,四边形为直角梯形, 又满足 又 又 , , 所以平面 PAD平面 PBC. (2)取 CD 的中点 H，连接 BH,PH,作 于 ，如图， 在四边形 ABCD 中，BADCDA90°， 所以为正方形，所以； 因为平面 PCD平面 ABCD，平面 PCD 平面 ABCD=CD，所以平面； 所以. 因为，所以； 在直角三角形中，所以. 又，所以平面，所以 到平面的距离等于； 设直线 PB 与平面 PAD 所成的角为 ，则，即直线 PB 与平面 PAD 所成的角为. (3)存在 为中点,即 满足条件,证明如下：取中点 ，连接.如图， 因为分别是的中点，所以且. 所以且，即为平行四边形，所以; 因为平面，平面，所以平面.此时.