辽宁省辽阳市2018-2019学年上学期高二期末数学试题（理科）（解析版）

2018-20192018-2019 学年辽宁省辽阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年辽宁省辽阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.设命题：，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 全称命题的否定是特称命题，写出即可。 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以为：，,故选 B. 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题。 2.在等差数列中，若 ，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知 +，再利用等差中项可以求出 . 【详解】由题意知， +，而是等差数列，故+，所以. 故选 D. 【点睛】本题考查了等差中项，以及一元二次方程的根与系数关系，属于基础题。 3.椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由椭圆的方程，求出 a 和 c，进而求出离心率。 【详解】由题意知椭圆中，故离心率. 故选 A. 【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，属于基础题。 4.不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 将分式不等式转化为整式不等式且，求解即可。 【详解】不等式等价于，解得. 故不等式的解集为. 故选 C. 【点睛】本题考查了分式不等式的求法，属于基础题。 5.已知双曲线的离心率，且其虚轴长为 8，则双曲线 的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据虚轴长为 8 可知，又，可知，即可写出双曲线方程. 【详解】因为虚轴长为 8 可知，又，可知， 所以双曲线方程为. 故选 B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程和简单性质，属于中档题. 6.在三棱柱中，若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先将转化为，然后将转化为，由此求得的表达式. 【详解】依题意，故选 B. 【点睛】本小题主要考查空间向量的加法以及减法的运算，考查空间向 量基本定理，属于基础题. 7.若等比数列的前 项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由，代入，可以求出，然后利用等比数列的前 项和公式，可以得到， 进而可以求出答案。 【详解】设等比数列的公比为 ， 则， 因为，所以， 故， 则. 故选 A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质及前 项和公式，属于基础题。 8.设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则使成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，验证，得到，进而得到答案。 【详解】由题意，只有 B 中，所以，故 【点睛】本题主要考查了利用空间向量判定点、线、面的位置关系的应用，其中熟记空间向量与线面位置 关系的判定方法，熟练使用平面的法向量是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 9.“方程表示的曲线为椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出方程为椭圆时 的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可。 【详解】若方程表示的曲线为椭圆， 则，解得且， 则“方程表示的曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件。 【点睛】方程，若，则方程表示的曲线为圆；若，且，则方程表示的曲 线为椭圆；若，则方程表示的曲线为双曲线。 10.已知空间向量，平面 的一个法向量为，则直线与平面 所成角 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，根据空间向量的夹角公式，求得，即可得到直线与平面 所成角，得到答案。 【详解】由题意，空间向量，平面 的一个法向量为， 所以根据空间向量的夹角公式，可得， 即则直线与平面 所成角 ，故选 A。 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，其中解答中熟记向量法求解线面角的方 法，熟练应用空间向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 11.已知，且.若恒成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，利用基本不等式，可得的最小值为 12，得到，即可求解实数 的取值范围，得到 答案。 【详解】由题意，利用基本不等式，可得 ，当且仅当，时，取等号， 得，解得或，故选 C。 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中利用基本 不等式求得的最小值，合理转化恒成立问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力， 属于中档试题。 12.设双曲线（，）的上顶点为 ，直线与交于 ， 两点，过 ， 分别作 ，的垂线交于点 ，若 到点的距离不超过，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线的对称性可知 点在 轴上，设，求得，进而根据题设条件得到关于的不 等式，得出关于离心率 的不等式，即可求解。 【详解】由题意可知，且，由双曲线的对称性可知 点在 轴上，设，则 ，所以. 所以 ，所以. 因为，所以， 即，解得， 又，所以，故选 D。 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的取值范围，其中解答中熟记双曲线的标准及其简单的几何性质， 根据题设条件，得出关于 的不等式，即关于离心率 的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解 答问题的能力，属于中档试题。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.若 x，y 满足约束条件，则的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最小值为 . 【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目 标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线 性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置； 最后求出所求的最值.属于基础题. 14.命题“当时，若，则.”的逆命题是_ 【答案】当时，若，则 【解析】 【分析】 利用原命题与逆命题之间的关系转化即可。 【详解】原命题为：“当时，若，则.” 它的逆命题为：“当时，若，则.” 【点睛】原命题：“若 ，则 ”； 逆命题：“若 ，则 ” ；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置； 否命题：“若非 ，则非 ” ，或“若，则” ；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定； 逆否命题：“若非 ，则非 ” ，或“若，则” ；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或 将原命题的条件和结论换位后再分别否定。 15.已知 是抛物线的焦点， ， 是该抛物线上的两点，则线段的中点到 轴的距离 为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线方程求出准线方程，利用抛物线的定义将和转化为 ， 到准线的距离，进而可以求出 的中点的纵坐标，即可求出答案。 【详解】抛物线的焦点，准线方程，设，, 所以， 解得， 所以线段的中点的纵坐标为 ， 故线段的中点到 轴的距离为 . 【点睛】本题考查了抛物线定义的运用，属于基础题。 16.如图，在三棱锥，为等边三角形，为等腰直角三角形，平面平面 ， 为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，求得向量的坐标，利用向量 的夹角公式，即可求解。 【详解】取得中点 ，连接，因为，所以. 因为平面平面，平面平面. 所以平面，又因为，所以，于是以 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，,为等边三角形， 则， 所以， 所以 ， 故异面直线与所成角的余弦值为. 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根 据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着 重考查了推理与运算能力。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.设是公比为正数的等比数列，若，且， ，8 成等差数列 求的通项公式； 设，求证：数列的前 n 项和 【答案】 （1）；（2）见解析. 【解析】 【分析】 设等比数列的公比为 q，通过， ，8 成等差数列，求出公比，然后求解的通项公式 求出，利用裂项相消法求解数列的和，即可说明数列的前 n 项和为 【详解】设等比数列的公比为 q， ， ，8 成等差数列 即， 即，解得或舍去 ， 所以的通项为 由上知， ， . . 所以. 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方 法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消 的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18.已知，且，设 函数在上单调递增； 函数在上的最小值大 于 . （1）试问 是 的什么条件？为什么？ （2）若命题为假，命题为真，求 的取值范围. 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）先求出命题 和 各自对应的 的取值范围，即可得出 是 的必要不充分条件；（2）由命题为假， 命题为真，可知命题 和 一真一假，分两种情况， 真 假或 假 真进行讨论，即可求出答案。 【详解】 （1）对命题 ，若函数在上单调递增，则， 对命题 ，若函数在上的最小值大于 ，则，即， 所以 是 的必要不充分条件. （2）若 为真，则， 因为，且，所以， 若 为真，则， 因为，且，所以，且， 又因为“ 或 ”为真， “ 且 ”为假， 所以 真 假或 假 真， 当 真 假时， 由，得. 当 假 真时，由，得. 综上所述， 的取值范围是. 【点睛】当 p、q 同时为假时， “p 或 q”为假，当 p、q 至少一个为真时， “p 或 q”为真，可简称为“一真必 真” ； 当 p、q 同时为真时， “p 且 q”为真，当 p、q 至少一个为假时， “p 且 q”为假，可简称为“一假必假” ； “非 p”与 p 的真假相反。 19.已知过的直线 与抛物线交于点 ， . （1）若为弦的中点，求直线 的方程； （2）若 为抛物线 的焦点， 为抛物线 上的动点，求的最小值. 【答案】 （1）；（2）7 【解析】 【分析】 （1）设出 ， 两点的坐标，分别代入抛物线方程，结合弦的中点坐标可以求出直线 的斜率，即可求出 直线 的方程；（2）利用抛物线的定义，将转化为 到抛物线 的准线的距离，当直线与 轴平行时， 取得最小值。 【详解】 （1）由题意易知直线 的斜率显然存在，设直线 的斜率为 ， 则有， 两式作差得，即得. 因为，所以. 则 的方程为. 即. （2）记 到抛物线 的准线的距离为 ，由抛物线的定义可知. 于是， 所以当直线与 轴平行时，最小， 故的最小值为. 【点睛】本题考查了抛物线的中点弦问题，及抛物线定义的应用，属于中档题。 20.如图，菱形的边长为 4，矩形的面积为 ，且平面平面. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 (1) 因为四边形是矩形，所以,再由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立 坐标系得到各个面的法向量，进而得到夹角的余弦值，再求正弦值. 【详解】(1)证明：因为四边形是矩形，