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辽宁省辽阳市2018-2019学年上学期高二期末数学试题(理科)(解析版)

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    • 1、2018-20192018-2019 学年辽宁省辽阳市高二(上)期末数学试卷(理科)学年辽宁省辽阳市高二(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 1212 小题,共小题,共 60.060.0 分)分) 1.设命题:,则为( ) A. , B. , C. , D. , 【答案】B 【解析】 【分析】 全称命题的否定是特称命题,写出即可。 【详解】因为全称命题的否定是特称命题,所以为:,,故选 B. 【点睛】本题考查了全称命题的否定,属于基础题。 2.在等差数列中,若 ,是方程的两个根,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知 +,再利用等差中项可以求出 . 【详解】由题意知, +,而是等差数列,故+,所以. 故选 D. 【点睛】本题考查了等差中项,以及一元二次方程的根与系数关系,属于基础题。 3.椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由椭圆的方程,求出 a 和 c,进而求出离心率。 【详解】由题意知椭圆中,故离心率. 故选 A. 【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法,属于基础题。 4.不等

      2、式的解集为( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 将分式不等式转化为整式不等式且,求解即可。 【详解】不等式等价于,解得. 故不等式的解集为. 故选 C. 【点睛】本题考查了分式不等式的求法,属于基础题。 5.已知双曲线的离心率,且其虚轴长为 8,则双曲线 的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据虚轴长为 8 可知,又,可知,即可写出双曲线方程. 【详解】因为虚轴长为 8 可知,又,可知, 所以双曲线方程为. 故选 B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程和简单性质,属于中档题. 6.在三棱柱中,若,则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先将转化为,然后将转化为,由此求得的表达式. 【详解】依题意,故选 B. 【点睛】本小题主要考查空间向量的加法以及减法的运算,考查空间向 量基本定理,属于基础题. 7.若等比数列的前 项和为,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由,代入,可以求出,然后利用等比数列的前 项和公式,可以得到, 进而可以求出答案。 【详解】设等比数列的公比为

      3、 , 则, 因为,所以, 故, 则. 故选 A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质及前 项和公式,属于基础题。 8.设直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则使成立的是( ) A. , B. , C. , D. , 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意,验证,得到,进而得到答案。 【详解】由题意,只有 B 中,所以,故 【点睛】本题主要考查了利用空间向量判定点、线、面的位置关系的应用,其中熟记空间向量与线面位置 关系的判定方法,熟练使用平面的法向量是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。 9.“方程表示的曲线为椭圆”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出方程为椭圆时 的范围,然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可。 【详解】若方程表示的曲线为椭圆, 则,解得且, 则“方程表示的曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件。 【点睛】方程,若,则方程表示的曲线为圆;若,且,则方程表示的曲 线为椭圆;若,则方程表示的曲线为双曲线。 10.已知空间向量,平面 的一个法向量

      4、为,则直线与平面 所成角 为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意,根据空间向量的夹角公式,求得,即可得到直线与平面 所成角,得到答案。 【详解】由题意,空间向量,平面 的一个法向量为, 所以根据空间向量的夹角公式,可得, 即则直线与平面 所成角 ,故选 A。 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角,其中解答中熟记向量法求解线面角的方 法,熟练应用空间向量的夹角公式求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。 11.已知,且.若恒成立,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意,利用基本不等式,可得的最小值为 12,得到,即可求解实数 的取值范围,得到 答案。 【详解】由题意,利用基本不等式,可得 ,当且仅当,时,取等号, 得,解得或,故选 C。 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值,以及不等式的恒成立问题的求解,其中解答中利用基本 不等式求得的最小值,合理转化恒成立问题是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力, 属于中档试题。 12.设双曲线(,)的上顶点为 ,直线

      5、与交于 , 两点,过 , 分别作 ,的垂线交于点 ,若 到点的距离不超过,则的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线的对称性可知 点在 轴上,设,求得,进而根据题设条件得到关于的不 等式,得出关于离心率 的不等式,即可求解。 【详解】由题意可知,且,由双曲线的对称性可知 点在 轴上,设,则 ,所以. 所以 ,所以. 因为,所以, 即,解得, 又,所以,故选 D。 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的取值范围,其中解答中熟记双曲线的标准及其简单的几何性质, 根据题设条件,得出关于 的不等式,即关于离心率 的不等式是解答的关键,着重考查了分析问题和解 答问题的能力,属于中档试题。 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 4 小题,共小题,共 20.020.0 分)分) 13.若 x,y 满足约束条件,则的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 画出可行域,通过向上平移基准直线到可行域边界的位置,由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值,且最小值为 . 【点睛】本小题主要考查利用

      6、线性规划求线性目 标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是:首先根据题目所给的约束条件,画图可行域;其次是求得线 性目标函数的基准函数;接着画出基准函数对应的基准直线;然后通过平移基准直线到可行域边界的位置; 最后求出所求的最值.属于基础题. 14.命题“当时,若,则.”的逆命题是_ 【答案】当时,若,则 【解析】 【分析】 利用原命题与逆命题之间的关系转化即可。 【详解】原命题为:“当时,若,则.” 它的逆命题为:“当时,若,则.” 【点睛】原命题:“若 ,则 ”; 逆命题:“若 ,则 ” ;实质是将原命题的条件和结论互相交换位置; 否命题:“若非 ,则非 ” ,或“若,则” ;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定; 逆否命题:“若非 ,则非 ” ,或“若,则” ;实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或 将原命题的条件和结论换位后再分别否定。 15.已知 是抛物线的焦点, , 是该抛物线上的两点,则线段的中点到 轴的距离 为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线方程求出准线方程,利用抛物线的定义将和转化为 , 到准线的距离,进而可以求出 的中点的纵坐标,即可求出答案。

      7、 【详解】抛物线的焦点,准线方程,设,, 所以, 解得, 所以线段的中点的纵坐标为 , 故线段的中点到 轴的距离为 . 【点睛】本题考查了抛物线定义的运用,属于基础题。 16.如图,在三棱锥,为等边三角形,为等腰直角三角形,平面平面 , 为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系,结合为等腰直角三角形,求得向量的坐标,利用向量 的夹角公式,即可求解。 【详解】取得中点 ,连接,因为,所以. 因为平面平面,平面平面. 所以平面,又因为,所以,于是以 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系,结合为等腰直角三角形,,为等边三角形, 则, 所以, 所以 , 故异面直线与所成角的余弦值为. 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角,其中解答中根 据几何体的结构特征,建立适当的空间直角坐标系,利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键,着 重考查了推理与运算能力。 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 7 7 小题,共小题,共 70.070.0 分)分) 17.设是公比为正数的等比数列,若,且, ,8 成等差数列 求的

      8、通项公式; 设,求证:数列的前 n 项和 【答案】 (1);(2)见解析. 【解析】 【分析】 设等比数列的公比为 q,通过, ,8 成等差数列,求出公比,然后求解的通项公式 求出,利用裂项相消法求解数列的和,即可说明数列的前 n 项和为 【详解】设等比数列的公比为 q, , ,8 成等差数列 即, 即,解得或舍去 , 所以的通项为 由上知, , . . 所以. 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方 法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2) ; (3) ;(4) ;此外,需注意裂项之后相消 的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误. 18.已知,且,设 函数在上单调递增; 函数在上的最小值大 于 . (1)试问 是 的什么条件?为什么? (2)若命题为假,命题为真,求 的取值范围. 【答案】 (1)见解析;(2) 【解析】 【分析】 (1)先求出命题 和 各自对应的 的取值范围,即可得出 是 的必要不充分条件;(2)由命题为假, 命题为真,可知命题 和 一真一假,分两种情况, 真 假或 假 真进行讨论,即可

      9、求出答案。 【详解】 (1)对命题 ,若函数在上单调递增,则, 对命题 ,若函数在上的最小值大于 ,则,即, 所以 是 的必要不充分条件. (2)若 为真,则, 因为,且,所以, 若 为真,则, 因为,且,所以,且, 又因为“ 或 ”为真, “ 且 ”为假, 所以 真 假或 假 真, 当 真 假时, 由,得. 当 假 真时,由,得. 综上所述, 的取值范围是. 【点睛】当 p、q 同时为假时, “p 或 q”为假,当 p、q 至少一个为真时, “p 或 q”为真,可简称为“一真必 真” ; 当 p、q 同时为真时, “p 且 q”为真,当 p、q 至少一个为假时, “p 且 q”为假,可简称为“一假必假” ; “非 p”与 p 的真假相反。 19.已知过的直线 与抛物线交于点 , . (1)若为弦的中点,求直线 的方程; (2)若 为抛物线 的焦点, 为抛物线 上的动点,求的最小值. 【答案】 (1);(2)7 【解析】 【分析】 (1)设出 , 两点的坐标,分别代入抛物线方程,结合弦的中点坐标可以求出直线 的斜率,即可求出 直线 的方程;(2)利用抛物线的定义,将转化为 到抛物线 的准线的距离,当直线与 轴平行时, 取得最小值。 【详解】 (1)由题意易知直线 的斜率显然存在,设直线 的斜率为 , 则有, 两式作差得,即得. 因为,所以. 则 的方程为. 即. (2)记 到抛物线 的准线的距离为 ,由抛物线的定义可知. 于是, 所以当直线与 轴平行时,最小, 故的最小值为. 【点睛】本题考查了抛物线的中点弦问题,及抛物线定义的应用,属于中档题。 20.如图,菱形的边长为 4,矩形的面积为 ,且平面平面. (1)证明:; (2)求二面角的正弦值. 【答案】 (1)见解析;(2) 【解析】 【分析】 (1) 因为四边形是矩形,所以,再由面面垂直得到线面垂直,进而得到线线垂直;(2)建立 坐标系得到各个面的法向量,进而得到夹角的余弦值,再求正弦值. 【详解】(1)证明:因为四边形是矩形,

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