2019届高三12月月考数学（理）试题（解析版）

20182018 年重庆一中高年重庆一中高 20192019 级高三上期级高三上期 1212 月月考数学试题卷（理科）月月考数学试题卷（理科） 一、选择题一、选择题. .（本大题共（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题列出的四个选项中，选出在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项）符合题目要求的一项） 1.已知，则=( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得集合 A,B，然后结合集合的运算法则求解集合运算即可. 【详解】求解函数的定义域可得：，即 求解函数的值域可得，则， 据此可得=. 本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能 力. 2.若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合不等式的性质逐一考查所给的不等式是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的选项： 当时，选项 A 错误； 当时，选项 B 错误， 当时，且，选项 C 错误； 由不等式的性质可知，选项 D 正确. 本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.已知随机变量 服从正态分布,若,则=( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合正态分布的对称性求解的值即可. 【详解】由正态分布的性质可知正态分布的对称轴为， 则，故 . 本题选择 C 选项. 【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 熟记 P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值 充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. 4.已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解的值即可. 【详解】由题意可得：， 由于，故， 据此可知. 本题选择 A 选项. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 5.下列函数中是奇函数且在区间上单调的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 结合函数的解析式逐一考查函数的性质即可. 【详解】逐一考查所给函数的性质： A.，函数为奇函数且时，当时，当时，据此 可知函数在区间不具有单调性，不合题意； B.，函数为奇函数，由于函数为周期函数，故函数在上不具有单调性； C.，易知函数的定义域为 ， 且， 故函数为奇函数， 由于函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知函数在区间 上单调递增，满足题意； D. ，该函数为偶函数，不合题意； 本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6.下列说法中错误的是（ ） A. 在分层抽样中也可能用到简单随机抽样与系统抽样； B. 从茎叶图中可以看到原始数据，没有任何信息损失； C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的值越接近于 1; D. 若随机变量，则 【答案】C 【解析】 【分析】 逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的说法： A. 在分层抽样中对每层的抽样可能用到简单随机抽样与系统抽样,原命题正确； B. 从茎叶图中可以看到所有的原始数据，没有任何信息损失,原命题正确； C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的绝对值越接近于 1,原命题错误; D. 若随机变量，则, 据此可得:，原命题正确 本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查分层抽样的方法，茎叶图的理解，随机变量的相关性，二项分布的均值方差公式等 知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7.已知直线与圆 ：相交于两点，若三角形为等腰直角三角形，则 （ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合几何性质首先确定圆心到直线的距离，据此得到关于 m 的方程，解方程即可求得实数 m 的值. 【详解】圆 C 的方程即：，则圆心坐标为，圆的半径为， 易知等腰直角三角形 ABC 的直角顶点为点 C，故圆心到直线的距离为， 结合点到直线距离公式有：，解得：或 . 本题选择 B 选项. 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中 含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法 8.已知二项式的展开式中的系数是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先确定展开式的通项公式，然后结合题意得到关于 a 的方程，求解方程即可求得最终结果. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得，令可得， 结合题意有：， 据此可得：. 本题选择 D 选项. 【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特 定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负 整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项 (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解 9.从区间中任取一个值 ，则函数在 上是增函数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先由函数的单调性求得实数 a 的取值范围，然后结合几何概型计算公式求解概率值即可. 【详解】由函数的解析式： 为增函数，则， 为增函数，则， 且当时，有：，即，解得， 综上可得，若函数在 上是增函数，则， 由题意结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为：. 本题选择 A 选项. 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，几何概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 10.数列前 项和为，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数 k 的值即可. 【详解】由题意有：当时， 两式作差可得：， 由于，故，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为 3 的等差数列， ，据此可得， 则数列的通项公式为：，加 2 后 能被 3 整除， 则. 本题选择 C 选项. 【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的 各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通 项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项 11.已知 是双曲线的右支上一点，分别为双曲线的左、右顶点，分别为双曲 线的左、右焦点，双曲线的离心率为 ,有下列四个命题中真命题个数为（ ）个 双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为；若，则 的最大值为； 的内切圆的圆心横坐标为 ； 若直线的斜率为 ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 结合双曲线的性质和定义逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】逐一考查所给命题的真假： 由双曲线焦点弦公式：可得： 双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为 .说法错误. 对于,若,则由双曲线的定义可得. ， ,故有,即离心率的最大值为，故不正确. 对于,设PF1F2的内切圆与 PF1和 PF2的切点分别为 M，N，与 x 轴的切点为 K， 由双曲线的定义及圆的切线性质可得|MF1|NF2|=2a=|KF1|KF2|， 又|KF1|+|KF2|=2c,|KF1|=a+c,故 K 为双曲线的右顶点,又PF1F2的内切圆的圆心在切点 K 的正上方,故 PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 a，故正确. 对于若直线 PF1的斜率为 k,则由题意可得，故正确. 综上可得，四个命题中真命题个数为 2 个. 本题选择 B 选项. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，双曲线的焦点弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 12.已知函数设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则 时，实数 的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：依题意：，因为两曲线，有公共点，设为，所以 ，因为， 所以，因此 构造函数，由，当时，即单调递增；当时， 即单调递减，所以即为实数 的最大值. 考点：函数的导数与最值. 二、填空题二、填空题. .（本大题共（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .把答案填写在答题卡相应位置上）把答案填写在答题卡相应位置上） 13.已知正实数 是 的等比中项，则圆锥曲线1 的离心率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意首先求得 m 的值，然后求解圆锥曲线的离心率即可. 【详解】由题意可得：， 则圆锥曲线方程为：， 则. 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方 法： 求出 a，c，代入公式； 只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2a2c2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等 式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围) 14.若实数满足约束条件则的最大值是_. 【答案】8 【解析】 【分析】 由题意首先确定可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程可得点 A 的坐标为：， 据此可知目标函数的最大值为：. 【点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最 值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大. 15.袋中有 个红球， 个黑球和 个白球，从中任取 个球，则其中三种颜色的球都有的概率是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】由题意可得，所求概率为： . 【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数 (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图” 列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 16.已知平面向量 ， ， 满足，且，则（）的取值范围为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意结合向量共线的充分必要条件和向量绝对值不等式的性质求解其取值范围即可. 【详解】令，则， 设向量的起点均为坐标原点，终点分别为，易知三点共线，如图所示，不妨设 ， 易知， 由向量的绝对值不等式的性质可得：， 注意到，且，故， 即（）的取值范围为. 【点睛】 本题主要考查向量中三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，向量不等式及其应用等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题三、解答题. .（共（共 7070 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17.已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)在中，A，B，C 的对边分别为 a,