安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2018-20192018-2019 学年度上学期第三次月考学年度上学期第三次月考 高二文科数学试题高二文科数学试题 本试卷满分本试卷满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟。请在答题卷上作答。分钟。请在答题卷上作答。 第第 I I 卷卷 选择题选择题 （共（共 6060 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 题，每题题，每题 5 5 分，满分分，满分 6060 分，每小题只有一个正确答案）分，每小题只有一个正确答案） 1.已知命题，命题 q：若恒成立，则，那么( ) A. “”是假命题 B. “”是真命题 C. “”为真命题 D. “”为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】 分别判断命题的真假性，然后再判断每个选项的真假 【详解】 ，即不存在， 命题 是假命题 若恒成立， 时，即符合条件 时，则 解得 ，则命题 为真命题 故是真命题 故选 【点睛】本题考查了含有“或” “且” “非”命题的真假判定，只需将命题的真假进行判定出来即可，需要 解答一元二次不等式，属于基础题。 2.已知， 是 的充分条件，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 p 是 q 的充分条件， ，所以 pq，则 p 是 q 的子集,由此得出集合的包含关系，再解不等式即可。 【详解】由 0，得 0x1，即 p：0x1.由 4x2xm0，得 4x2xm.因为 4x2x(2x)22x， 要使 p 是 q 的充分条件，则当 0x1 时，m 大于等于 4x2x的最大值，又当 x1 时，4x2x有最大值 6，所以 m6.故选 A. 【点睛】在判断充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件时转化为集合的关系。等价于 是 的子集。 3.已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线，分别交椭圆于 ， 两点，且 斜率分别为，若点 ， 关于原点对称，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 设点，则。 则。 由题意得, ， ， 又， ， 解得， 答案： 点睛：关于点与椭圆的位置关系有以下结论： 点在椭圆内；点在椭圆上；点在椭圆 外特别是根据点在椭圆上，可得点的横纵坐标之间的等量关系，以便进行两坐标间的转化。 4.已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：令，则，因此，则根据求导公式有 考点：导数的求法；换元法； 5.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于 A，B 两点，F 为该双曲线的右焦点若 ，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：由双曲线方程可知其渐近线方程为，将代入上式可得即。因为 ，由图形的对称性可知，即。因为， 所以，即。因为，所以。故 B 正确。 考点：双曲线的简单几何性质。 6.函数的图象大致是 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的解析式，根据定义在 上的奇函数图像关于原点对称可以排除 ，再求出其导函数， 根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当时， 故函数图像过原点，排除 又，令 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有 符合要求 故选 【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域， 值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。 7.已知抛物线上一点到其焦点的距离为 5，双曲线的左顶点为 ， 若双曲线 的一条渐近线与直线平行，则实数 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由于到其焦点的距离为，所以,所以（，） ，由题意知， 8.函数的单调减区间是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：令，故选 C. 考点：函数的单调区间. 9.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题，不妨令，则，令解得，因时， ，当时，所以当时，达到最小。即。 10.设在和处均有极值，则下列点中一定在 轴上的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 计算的导数,可知-1,1 是方程的两根，结合根与系数关系，即可。 【详解】，由题意知-1，1 是方程的两根， 由根与系数的关系知，所以，故选 A. 【点睛】本道题考查了函数导数计算方法，结合根与系数关系，即可。 11.已知 是抛物线的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧，（其中 为坐标原点） ， 则与面积之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：据题意得，设，则，或，因为 位于 轴两侧所以.所以两面积之和为 . 【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式. 12.做一个圆柱形锅炉，容积为 ，两个底面的材料每单位面积的价格为 元，侧面的材料每单位面积的价格 为 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设锅炉的高 h 与底面直径 d 的比为 k= ，运用圆柱的表面积公式和体积公式，结合导数，求得极值点且为 最值点，即可得到 【详解】设锅炉的高 h 与底面直径 d 的比为 k= ， 由 V=h=kd= kd3， 可得 d=，h=kd=， 设造价为 y，则 y=2（ ）2a+dhb=+b， 则 y=（ ）+b， 令 y=0，解得 k= ，可得此时 y 取得最小值 故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比为 故选：A 【点睛】本题考查函数在实际问题中的运用，考查导数的运用：求最值，同时考查圆柱的表面积和体积的 运用，属于中档题 第第卷（非选择题卷（非选择题 9090 分）分） 二、填空题二、填空题( (共共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分分) ) 13.若命题“，”是真命题，则实数 的取值范围是_ 【答案】8,0 【解析】 当 a0 时，不等式显然成立； 当 a0 时，由题意知 得8a1，x10， x(x1)1213（当且仅当，即时等号成立） ， 由x(1，)，xa 恒成立得 因为 p 为真，p 且 q 为假， 所以 q 为假， 则有，解得， 所以 的取值范围为 【点睛】解决该类问题的基本步骤：弄清构成复合命题中简单命题 p 和 q 的真假；明确符合命题的构 成形式；根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假；转化为不等式（组）求解 18.设函数是定义在上的偶函数，当时，( 为实数) （1）当时，求的解析式； （2）若，试判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在 ，使得时，有最大值 1？ 【答案】 （1）；（2）详见解析；（3）. 【解析】 试题分析：(1)根据分段函数的奇偶性可得当时，求的解析式；（2）由于可得恒成 立，得在上为增函数，根据对称性得在上为减函数；（3）讨论时，当时两种 情况，研究单调性并求最值，舍去不合题意的情况，即可得结论. 试题解析： (1)设，则，又是偶函数， . （2）,又，即在上为增函数. （3）当时，在上是增函数， （不合题意，舍去）. 当时，令，如下表： 最大值 在处取得最大值，满足条件，当时， 在上单调递减，在无最大值，所以存在，使在上有最大值. 19.设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定 值 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】 解：(1)方程 7x4y120 可化为 y x3， 当 x2 时，y 又 f(x)a， 于是，解得 故 f(x)x (2)证明：设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 f(x)1知，曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy0(1 )·(xx0)，即 y(x0)(1)(xx0) 令 x0 得，y，从而得切线与直线 x0，交点坐标为(0，) 令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0) 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为 |2x0|6 曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6 20.已知椭圆上的点 到左，右两焦点，的距离之和为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线 交椭圆于 ， 两点，若 轴上一点满足，求直线 的斜率 的值 【答案】 （1）；（2） 【解析】 试题分析：（1）根据与离心率可求得 a，b，c 的值，从而就得到椭圆的方程；（2）设出直 线的方程，并与椭圆方程联立消去 y 可得到关于 x 的一元二次方程，然后利用中点坐标公式与分 类讨论的思想进行解决 试题解析：（1）， ， 椭圆的标准方程为 （2）已知,设直线的方程为，-， 联立直线与椭圆的方程，化简得：， ， 的中点坐标为 当时，的中垂线方程为， ，点在的中垂线上，将点的坐标代入直线方程得： ，即， 解得或 当时，的中垂线方程为，满足题意， 斜率 的取值为. 考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系 21.已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点. （1）求双曲线的方程； （2）若点在双曲线上，求证：； （3）求的面积 【答案】 （1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 (1)e， 设双曲线方程为 x2y2 又双曲线过(4，)点， 16106， 双曲线方程为 x2y26 (2)证明：(32，m)， (23，m)， ·(32)(32)m23m2 M 在双曲线上，9m26， m23，·0 (3)在F1MF2中，|F1F2|4，且|m|， SF1MF2 ·|F1F2|·|m| ×4×6 22.已知抛物线：，焦点为，其准线与 轴交于点.椭圆：分别以、为左、右焦点， 其离心率，且抛物线和椭圆的一个交点记为. （1）当时，求椭圆的标准方程； （2）在（1）的条件下，若直线 经过椭圆的右焦点，且与抛物线相交于 ， 两点，若弦长等于 的周长，求直线 的方程 【答案】 （1）=1 （2） 【解析】 (1)当时,F (1,0),F (-1,0) 设椭圆的标准方程为(0), =1,=,=2,= 故椭圆的标准方程为=1. (2) ()若直线 的斜率不存在，则 ：=1，且 A（1，2），B（1，-2），=4 又的周长等于=2+2=6 直线 的斜率必存在. ）设直线 的斜率为，则 ：由，得 直线 与抛物线有两个交点 A，B， ，且 设 则可得，. 于是= = = =. 的周长等于=2+2=6. 由=6，解得=. 故所求直线 的方程为