贵州省2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019 学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期中数学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期中数 学试卷（理科）学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.点 P（a，b，c）到坐标平面 xOy 的距离是（ ） A. B. C. D. 2 + 2| 2.过两点 A（4，y），B（2，-3）的直线的倾斜角为 45°，则 y=（ ） A. B. C. D. 1 3 2 3 2 1 3.直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相切，则 b=（ ） A. 或 12B. 2 或C. 或D. 2 或 12 2 12 2 12 4.已知 m，n 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ） A. ， / B. ， / / C. ， / D. ， / 5.等差数列an中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列an前 9 项的和 S9等于（ ） A. 99B. 66C. 144D. 297 6.直线（a+2）x+（1-a）y-3=0 与（a-1）x+（2a+3）y+2=0 互相垂直，则 a 的值为 （ ） A. B. 1C. D. 1± 1 3 2 7.如图，一只蚂蚁在边长分别为 3，4，5 的三角形区域内随 机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率 为（ ） A. 12 B. 1 3 第 2 页，共 20 页 C. 1 6 D. 1 12 8.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如 图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 23 2 9.已知 =sin150°，b=tan60°，c=cos（-120°），则 a、b、c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正四面体 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CD 的 中点，则异面直线 EF 与 AC 所成的角为（ ） A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 11. 已知 P，Q 分别是直线 l：x-y-2=0 和圆 C：x2+y2=1 上的动点，圆 C 与 x 轴正半轴 交于点 A（1，0），则|PA|+|PQ|的最小值为（ ） A. B. 2C. D. 25 1 2 + 10 2 1 12. 设点 M（x0，1），若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=45º，则 x0的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 1,1 1 2, 1 2 2, 2 2 2, 2 2 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 若 x，y 满足约束条件，则 z=3x-4y 的最小值为_ 0 + 2 0 0 ? 14. 若曲线与直线始终有两个交点，则 的取值范围是_ = 1 2 = + 15. 三棱锥 P-ABC 中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2，PC=2，则三棱锥 P-ABC 的外 23 接球的表面积为_ 16. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为棱 DD1，AB 上的点已知下列判断： A1C平面 B1EF； B1EF 在侧面 BCC1B1上的正投影是面积为定值 的三角形； 在平面 A1B1C1D1内总存在与平面 B1EF 平行的直 线； 平面 B1EF 与平面 ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点 E 的位置有关，与 点 F 的位置无关 其中正确结论的序号为_（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知圆 x2+y2=9 内有一点 P（-1，2），AB 为过点 P 的弦且倾斜角为 （1）若 =135°，求弦 AB 的长； （2）当弦 AB 被点 P 平分时，求出直线 AB 的方程 18. 在等差数列an中，a1=3，其前 n 项和为 Sn，等比数列bn的各项均为正数， b1=1，公比为 q，且 b2+S2=12， = 2 2 （1）求 an与 bn； （2）设数列cn满足，求cn的前 n 项和 Tn = 1 第 4 页，共 20 页 19. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a，M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1M=AN= a，如图 2 3 （1）求证：MN面 BB1C1C； （2）求 MN 的长 20. 在ABC 中，D 为 BC 上一点，AD=CD，BA=7，BC=8 （1）若 B=60°，求ABC 外接圆的半径 R； （2）设CAB=ACB=，若，求ABC 面积 = 3 3 14 21. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PAAC，PCBC，M 为 PB 的 中点，且AMB 为正三角形 （I）求证：BC平面 PAC； （II）若 PA=2BC，求二面角 A-BC-P 的余弦值 22. 已知直线 l：4x+3y+10=0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方 （1）求圆 C 的方程； （2）过点 M（1，0）的直线与圆 C 交于 A，B 两点（A 在 x 轴上方），问在 x 轴 正半轴上是否存在定点 N，使得 x 轴平分ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若 不存在，请说明理由 第 6 页，共 20 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】D 【解析】 解：点 P 在 XOY 平面的投影点的坐标是 P'（a，b，0）， 所以|PP'|2=（a-a）2+（b-b）2+（c-0）2=c2， 点 P（a，b，c）到坐标平面 xOy 的距离是|c|， 故选：D 先求出点 P 在 XOY 平面的投影点的坐标，然后利用空间任意两点的距离公 式进行求解即可 本题主要考查了空间一点点到平面的距离，同时考查了计算能力，属于基础 题 2.【答案】C 【解析】 解：经过两点 A（4，y），B（2，-3）的直线的斜率为 k= 又直线的倾斜角为 45°， =tan45°=1，即 y=-1 故选：C 由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得 y 的 值 本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题 3.【答案】D 【解析】 解：由圆 x2+y2-2x-2y+1=0，化为标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1， 圆心坐标为（1，1），半径为 1， 直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相切， 圆心（1，1）到直线 3x+4y-b=0 的距离等于圆的半径， 即，解得：b=2 或 b=12 故选：D 化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等 于圆的半径列式求得 b 值 本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题 4.【答案】D 【解析】 解：在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， A、若平面 AC 是平面 ，平面 BC1是平面 ， 直线 AD 是直线 m，点 E，F 分别是 AB，CD 的中 点，则 EFAD，EF 是直线 n， 显然满足 ，m，n，但是 m 与 n 异面； B、若平面 AC 是平面 ，平面 A1C1是平面 ， 直线 AD 是直线 m，A1B1是直线 n， 显然满足 m，n，m，n，但是 与 相交； C、若平面 AC 是平面 ，直线 AD 是直线 n，AA1是直线 m， 显然满足 m，mn，但是 n； 故选：D 根据 m，n 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，可得该直线与直线可 以平行，相交或异面，平面与平面平行或相交，把平面和直线放在长方体中， 逐个排除易寻到答案 第 8 页，共 20 页 此题是个基础题考查直线与平面的位置关系，属于探究性的题目，要求学 生对基础知识掌握必须扎实并能灵活应用，解决此题问题，可以把图形放入 长方体中分析，体现了数形结合的思想和分类讨论的思想 5.【答案】A 【解析】 解：由等差数列的性质可得 a1+a7=2a4，a3+a9=2a6， 又a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27， a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27， a4=13，a6=9，a4+a6=22， 数列an前 9 项的和 S9=99 故选：A 由等差数列的性质可得 a4=13，a6=9，可得 a4+a6=22，再由等差数列的求和公 式和性质可得 S9=，代值计算可得 本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题 6.【答案】C 【解析】 解：由题意，直线（a+2）x+（1-a）y-3=0 与（a-1）x+（2a+3）y+2=0 互相垂直 （a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0 （a-1）（a+2-2a-3）=0 （a-1）（a+1）=0 a=1，或 a=-1 故选：C 根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0，从而可求 a 的值 本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线 垂直的充要条件 7.【答案】D 【解析】 解：三角形 ABC 的面积为 离三个顶点距离都不大于 1 的地方的面积为 所以其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为 P=1- 故选：D 求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于 1 的区域为三个 扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几 何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率 本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形 的面积公式 8.【答案】C 【解析】 解：由三视图可知该几何体是在底面为边长是 2 的正方形、高是 3 的直四棱 柱的基础上， 截去一个底面积为×2×1=1、高为 3 的三棱锥形成的，V三棱锥=1， 所以 V=4×3-1=11 故选：C 根据得出该几何体是在底面为边长是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基础 上， 截去一个底面积为×2×1=1、高为 3 的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱 锥即可得出答案 本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积， 高，运用体积公式 第 10 页，共 20 页 9.【答案】B 【解析】 解：=sin150°=sin（180°-30°）=sin30°=， b=tan60°=， c=cos（-120°）=cos（90°+30°）=-sin30°=- bac， 故选：B 利用诱导公式化简在同一象限，即可比较 本题考查了诱导公式的化简能力属于基础题 10.【答案】C 【解析】 解：取 BC 的中点 G，连接 EG，FG， E，G 分别为 AB，BC 的中点， EGAC，FGBD，EG=，FG= FEG 为异面直线 EF 与 AC 所成的角 四面体 ABCD 为正四面体， AC=BD， EG=FG 过点 A 作 AO平面 BCD，垂足为 O，则 O 为BCD 的重心，AOBD COBD，AOCO=O BD平面 AOC AC平面 AOC BDAC