福建省惠安惠南中学2018-2019学年高二12月月考数学（理）试题（解析版）

惠南中学惠南中学 20182018 年秋季高二年年秋季高二年 12 月月考月月考 数学（理科）试卷数学（理科）试卷 考试时间：考试时间：120120 分钟分钟 满分：满分：150150 分分 2018.12.15 第第卷（选择题共卷（选择题共 60 分）分） 一、选择题一、选择题( (本题本题 1 12 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 60 分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确 答案填入答题卷中。答案填入答题卷中。) ) 1.命题“若，则”的逆否命题是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 试题分析：逆否命题需将条件结论交换后分别否定，所以原命题的逆否命题为：若，则 考点：四种命题 2.已知命题，其中正确的是（ ） A. 使 B. 使 C. 使 D. 使 【答案】D 【解析】 【分析】 由特称命题的否定为全称命题即可得解 【详解】命题，为特称命题，其否定为全称命题， 所以使. 故选 D. 【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，由全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称 命题即可得解. 3.设 、 是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 试题分析：由不能推出，比如，而即，所以也 不能推出，所以是的既不充分也不必要条件，故选 D. 考点：不等式的性质与充要条件的判断. 4.椭圆的左右焦点为，一直线过F1交椭圆于A、B两点，ABF2的周长为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由椭圆的定义得，从而得解. 【详解】由椭圆的定义可知：. ABF2的周长为. 故选 B. 【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用，属于基础题. 5.椭圆的焦距是 2,则实数 的值是( ) A. 5 B. 8 C. 5 或 8 D. 3 或 5 【答案】D 【解析】 【分析】 讨论椭圆的焦点轴，利用，结合焦距即可得解. 【详解】当椭圆的焦点在 x 轴上时有：. 由焦距是 2,可知，所以，解得； 当椭圆的焦点在 y 轴上时有：. 由焦距是 2,可知，所以，解得. 故选 D. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，属于基础题. 6.在正项等比数列中， 和为方程的两根，则 ( ) A. 16 B. 32 C. 64 D. 256 【答案】C 【解析】 略 7.已知等差数列的前 n 项和为，且，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 试题分析：由条件：， ，解得： 考点：等差数列由条件求某一项注意把握基本量 8.已知等比数列公比为 q，其前 n 项和为，若成等差数列，则 等于（ ） A. B. 1 C. 或 1 D. -1 或 【答案】A 【解析】 试题分析：因为 S3，S9，S6成等差数列，即，2S9=S6+S3，所以 2，整理得， ，解得 q3=或 1，但 q3=1 时与已知不符，故选 A。 考点：本题主要考查等比数列通项公式、求和公式。 点评：简单题，根据 S3，S9，S6成等差数列可建立 q 的方程，解之即得。 9.数列满足且，则“ ”是“数列成等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 当 r1 时，易知数列an为等差数列； 由题意易知 a22r，a32r2r，当数列an是等差数列时，a2a1a3a2， 即 2r12r2r.解得 r 或 r1， 故“r1”是“数列an为等差数列”的充分不必要条件 本题选择 A 选项. 10.对于 0a1 的实数 a，当 x，y 满足 时，z=x+y（ ） A. 只有最大值，没有最小值 B. 只有最小值，没有最大值 C. 既有最小值也有最大值 D. 既没有最小值也没有最大值 【答案】C 【解析】 【分析】 作出可行域的图形，再结合目标平移直线即可得解. 【详解】 因为 xay=2 是恒过(2,0)点的直线系，且 0a1 所以 x，y 满足，的可行域如图：是三角形 ABC 的区域， 当目标函数经过可行域的 B 点时，目标函数确定最小值； 目标函数经过可行域的 A 点时，目标函数确定最大值。 故选 C. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域研究目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般 步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对 应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3） 将最优解坐标代入目标函数求出最值. 11.椭圆 C：的左右顶点分别为，点 P 在 C 上且直线斜率的取值范围是，那么直线 斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设 P 点坐标为，则， 于是，故. .故选 B. 【考点定位】直线与椭圆的位置关系 12.设的三边长分别为，的面积为，.若， ， ， ， ，则( ) A. 为递减数列 B. 为递增数列 C. 为递增数列，为递减数列 D. 为递减数列，为递增数列 【答案】B 【解析】 由题意得，所以数列是常数列，故 ， ， ，即 是以点，长轴长为的椭圆的焦点三角形， 又，所以的形状和位置如下图所示： ， 数列是首项为，公比为的等比数列， ， 故当时， 点的位置无限趋近于椭圆的短轴的端点 P 的边上的高单调递增， 单调递增， 数列为递增数列选 B 点睛：本题将数列、解析几何等知识相结合，综合考查学生分析问题、解决问题的能力首先，在数列运算 的基础上，要处理好数列之间的关系，掌握数列变化中的确定性；其次，在解析几何特征分 析上，确定出点的几何特征；最后由椭圆的定义将问题加以解决 第第卷卷( (非选择题非选择题 90 分分) ) 二、填空题（本题二、填空题（本题 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为_. 【答案】 【解析】 试题分析：等差数列的，则 考点：等差数列和等比数列的性质； 14.已知正数 a,b 满足 2a+b=10,则的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】由 2a+b=10，可得. 故答案为： . 【点睛】本题考查基本不等式，着重考查基本不等式的应用，属于基础题在利用基本不等式求最值时， 要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另 一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 15.设分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在 A，使,且，则双 曲线的离心率为_. 【答案】 【解析】 【分析】 设，根据双曲线定义表示，再利用勾股定理表示，从而可得解. 【详解】设分别是双曲线的左、右焦点. 若双曲线上存在点 A, 使,且， 设 双曲线中， 离心率， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，关键是通过几何条件和双曲线的定义求得 a 和 c 的比值， 属于中档题. 16.已知分别是圆锥曲线和的离心率，设，则 的取值范围是 【答案】 （-，0） 。 【解析】 试题分析ab00 1，e1=，e2=，0e1e21， m=lge1+lge2=lg（e1e2）0 考点：圆锥曲线的定义、性质与方程 点评：本题主要考查了椭圆、双曲线的离心率，考查对数的运算性质。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题小题，共共 70 分分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，求双曲线的方程 【答案】3x2-y2=12（或=1） 【解析】 试题分析：由椭圆方程求得焦点坐标和离心率，即可求到双曲线的 c 与离心率。 试题解析：由已知得双曲线 c=4,椭圆离心率为 则双曲线离心率为 2，得 a=2,故 b2=12 故所求双曲线方程是 3x2-y2=12（或=1） 18.设的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 为钝角. （1）证明：； （2）求 的取值范围. 【答案】 （1）见解析；（2）. 【解析】 试题分析：()运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；()将角用表示,换元法 求函数的值域即可. 试题解析：()由及正弦定理，得， 即， 又 为钝角，因此， 故，即； ()由（1）知， ， 于是 ， ，因此，由此可知的取值范围是 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用. 19.已知数列是公差为 2 的等差数列，且成等比数列 （1）求的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，求证： 【答案】 （1）；（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）先等差数列的公差为，根据条件和等差数列的通项公式列出方程求解，再代入 等差数列的通项公式化简即可；（2）由（1）求出数列的通项公式，然后再利用裂项相消即可求出数 列的前项和为，进而证明结果 试题解析：（1）数列是公差为 2 的等差数列， ,成等比数列，, 所以由 得 解之得,所以,即 （2）由（1）得 考点：1等差数列的性质；2等比数列的性质；3裂项相消 【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其 本质就是两大类型类型一:型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有 理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的 运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如 型，常见的有；对数运算本身可以裂 解；阶乘和组合数公式型要重点掌握和 20.已知是递增的等差数列， ， 是方程的根 （）求的通项公式； （）求数列的前 项和. 【答案】 （）（） 【解析】 【分析】 （）由 和 可得公差，进而可求通项公式； （）由，利用错位相减法求和即可. 【详解】 （）方程的两个根为 2，3，由题意得， 设数列的公差为 ，则，故，从而 所以的通项公式为 （）设的前 项和为，由（1）知，则 -得. 所以， 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项相消法求和的计算，属于基础题. 21.已知椭圆过点，离心率. （）求椭圆的方程； （）设过定点的直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点，且为锐角（其中 O 为坐标原点),求直线 l 斜 率的取值范围. 【答案】 （）（II）或 【解析】 【分析】 （）由题意得，从而可解得椭圆的方程； （II）设，设直线 的方程为：，与椭圆联立，利用根与系数的关系代入 求解即可. 【详解】 （）由题意得， 结合，解得 所以，椭圆的方程为. （II）设，则，. 设直线 的方程为：. 由得 即. 所以， . 由解得或. 故或为所求. 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆相交的计算问题，用到了“设而不求”的思想处理向 量问题，属于基础题. 22.已知两圆的圆心分别为，P 为一个动点，且直线的斜率之 积为. （）求动点 P 的轨迹 M 的方程； （）是否存在过点 A(2，0)的直线 l 与轨迹 M 交于不同的两点 C、D，使得？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）y21(x0)（2）不存在 【解析】 (1)两圆的圆