2018年全国高等院校同一招生考试全国Ⅰ理科数学试卷（含答案）

绝密绝密启用前启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1设，则 1 i 2i 1 i z | z A B C D 0 1 212 2已知集合，则 2 20Ax xx A R ð A B 12xx 12xx CD |1|2x xx x |1|2x xx x 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的 经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4设为等差数列的前项和，若，则 n S n a n324 3SSS 1 2a 5 a A B C D 12101012 5设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 32 ( )(1)f xxaxax( )f x( )yf x(0,0) ABCD 2yx yx 2yxyx 6在中，为边上的中线，为的中点，则 ABCADBCEADEB ABCD 31 44 ABAC 13 44 ABAC 31 44 ABAC 13 44 ABAC 7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱 MA 表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度 NBMN 为 ABC3D2 17252 8设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为的直线与 C 交于 M，N 两点，则 2 3FM FN = A5 B6 C7 D8 9已知函数若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 e0 ( ) ln0 x x f x xx ， ，( )( )g xf xxa A1，0） B0，+） C1，+） D1，+） 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为 直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，ACABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II， 其余部分记为 III在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，III 的概率分别记为 p1，p2，p3，则 Ap1=p2Bp1=p3 Cp2=p3Dp1=p2+p3 11已知双曲线 C：，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点 2 2 1 3 x y 分别为 M、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|= AB3CD4 3 2 2 3 12已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最 大值为 ABC D 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若，满足约束条件，则的最大值为_xy 220 10 0 xy xy y 32zxy 14记为数列的前项和，若，则_ n S n an21 nn Sa 6 S 15从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 _种 （用数字填写答案） 16已知函数，则的最小值是_ 2sinsin2f xxx f x 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17 （12 分） 在平面四边形中，.ABCD90ADC 45A 2AB 5BD （1）求；cosADB （2）若，求.2 2DC BC 18 （12 分） 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点ABCD,E F,AD BCDFDFC 到达点的位置，且.CPPFBF （1）证明：平面平面；PEF ABFD （2）求与平面所成角的正弦值.DPABFD 19 （12 分） 设椭圆的右焦点为，过的直线 与交于两点，点的坐标为. 2 2 :1 2 x CyFFlC,A BM(2,0) （1）当 与轴垂直时，求直线的方程；lxAM （2）设为坐标原点，证明：.OOMAOMB 20 （12 分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不 合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对 余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格) 10( pp 品相互独立 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为,求的最大值点)(pf)(pf 0 p （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的作为的值已知每 0 pp 件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿 费用 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;XEX （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21 （12 分） 已知函数 1 ( )lnf xxax x （1）讨论的单调性；( )f x （2）若存在两个极值点，证明：( )f x 12 ,x x 12 12 2 f xf x a xx （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐xOy 1 C| |2yk xx 标系，曲线的极坐标方程为. 2 C 2 2 cos30 （1）求的直角坐标方程； 2 C （2）若与有且仅有三个公共点，求的方程. 1 C 2 C 1 C 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知. ( ) |1|1|f xxax （1）当时，求不等式的解集； 1a ( )1f x （2）若时不等式成立，求的取值范围. (0,1)x( )f xx a 参考答案： 123456789101112 CBABDABDCABA 13.6 14. 15.16 16.63 3 3 2 17.（12 分） 解：（1）在中，由正弦定理得.ABD sinsin BDAB AADB 由题设知，所以. 52 sin45sinADB 2 sin 5 ADB 由题设知，所以.90ADB 223 cos1 255 ADB （2）由题设及（1）知，. 2 cossin 5 BDCADB 在中，由余弦定理得BCD 222 2cosBCBDDCBD DCBDC 2 2582 5 2 2 5 .25 所以.5BC 18.（12 分） 解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以 BF平面 PEF. 又平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.BF （2）作 PHEF，垂足为 H.由（1）得，PH平面 ABFD. 以 H 为坐标原点，的方向为 y 轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系HF |BF Hxyz. 由（1）可得，DEPE.又 DP=2，DE=1，所以 PE=.又 PF=1，EF=2，故 PEPF.3 可得. 33 , 22 PHEH 则为平面 ABFD 的法向量. 3333 (0,0,0),(0,0,),( 1,0),(1,), 2222 HPDDP 3 (0,0,) 2 HP 设 DP 与平面 ABFD 所成角为，则. 3 3 4 sin| 4| |3 HP DP HPDP 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为. 3 4 19.（12 分） 解：（1）由已知得，l 的方程为 x=1.(1,0)F 由已知可得，点 A 的坐标为或. 2 (1,) 2 2 (1,) 2 所以 AM 的方程为或. 2 2 2 yx 2 2 2 yx （2）当 l 与 x 轴重合时，.0OMAOMB 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以.OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为，(1)(0)yk xk 1221 ( ,), (,)AyxyxB 则，直线 MA，MB 的斜率之和为. 12 2,2xx 2 12 1 22 MAMB xx yy kk 由得 1122 ,ykkxykxk . 1212 12 ( 23 ()4 2)(2) MAMB x xxxkk xx k kk 将代入得(1)yk x 2 2 1 2 x y . 2222 (21)4220kxk xk 所以，. 2 1 2 21 2 2 2 422 , 2121 xxx kk k x k 则. 3 1 3 1 3 22 2 441284 23 ()40 21 kkkkk kkk k x xxx 从而，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以.0 MAMB kkOMAOMB 综上，.OMAOMB 20.（12 分） 解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为.因此 2218 20 ( )C(1)f ppp . 218217217 2020 ( )C 2 (1)18(1) 2C(1) (1 10 )fpppppppp 令，得.当时，；当时，.( )0fp0.1p (0,0.1)p( )0fp(0.1,1)p( )0fp 所以的最大值点为.( )f p 0 0.1p （2）由（1）知，.0.1p （i）令表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知，Y(180,0.1)YB: ，即.20 225XY 4025XY 所以.(4025 )4025490E