南京市初三数学竞赛选拔试题及答案

南京市初三数学竞赛选拔试题（本卷满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题5分、共40分）1、方程|xy |+|x+y|=1的整数解的组数为（ ）。 （A）8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 2、菱形的两条对角线之和为L,面积为S,则它的边长为( ). (A) (B) (C) (D)3、方程的所有整数解的个数是（ ）（A）5个 （B）4个 （C）3个 （D）2个4、已知梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于O，AOD的面积为4，BOC的面积为9，则梯形ABCD的面积为（ ）（A）21 （B）22 （C）25 （D）265、如果多项式，则的最小值是（ ）(A) 2005 (B) 2006 (C) 2007 (D) 20086、已知一组正数的方差为：，则关于数据的说法：方差为S2；平均数为2；平均数为4；方差为4S2。其中正确的说法是（ ） (A) (B) (C) （D）7、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<<180°)。被称为一次操作若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角为 ( ) (A) 7 2° （B）108°或14 4° （C）144° （D） 7 2°或144°8、如图，已知圆心为A、B、C的三个圆彼此相切，且均与直线l相切若A、B、C的半径分别为a、b、c(0<c<a<b)，则a、b、c一定满足的关系式为 ( ) （A）2b=a+c （B） （C） (D)二、填空题（每小题5分，共30分）9、已知ab为正整数,a=b-2005,若关于x方程x2-ax+b=0有正整数解,则a 的最小值是_ABCGFED10、如图，在ABC中，AB=AC, ADBC, CGAB, BG分别交AD,AC于E,F.若，那么等于 .11、已知二次函数的图象与轴交于点(-2，0)，(x1，0)，且1x12，与y轴正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：a<b<0；2a+c>0；4a+c<0；2a-b+1其中正确的结论是_(填写序号)12、如图，O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若=8，则AB等于 13、某商铺专营A，B两种商品，试销一段时间，总结得到经营利润y与投人资金x(万元)的经验公式分别是yA=，yB=。如果该商铺投入10万元资金经营上述两种商品，可获得的最大利润为_ 万元。 14、在ABC中，AB15，AC13，高AD12，设能完全覆盖ABC的圆的半径为R则R的最小值是 三、解答题（第15、16、17题各12分，第18题14分，共50分）15、三项式x2-x-2n能分解为两个整系数一次因式的乘积(1)若1n30,且n是整数,则这样的n有多少个?(2)当n2005时,求最大整数n16、某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？17、一个三角形可被剖分成两个等腰三角形。原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值。18、已知A1、A2、A3是抛物线上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C.（1）如图18-1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长；（2）如图18-2，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；（3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用、表示，并直接写出答案）.图18-2A1A2A3B1B2B3OxyC图18-1A1A2A3B1B2B3OxyC（参考答案）一、选择题：1、B 2、C 3、B 4、C 5、A 6、B 7、D提示：如图，有且只有右边两种情况， 8、D 二、填空题：9、95；设方程的两个根为x,x,则x+x=a, xx=b xx-(x+x)=b-a=2005 (x-1) (x-1)=2006=2×17×59因为59为质数，故x-1, x-1中必有一个是59的倍数，取x-1=34, x-1=59，则x+x=95，a的最小值为95； 10、；11、；12、4；13、1.75；14、或；三、解答题：15、解：（1）x2x2n=(x- (2分) 则应有1+8n=9，25，49，81，121，169-（4分） 相应解得n=1，3，6，10，15，21，28，36（舍去） 故当1n30时，满足条件的整数n有7个-（6分） （2）观察数列1，3，6，10，发现 1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4 -（8分） 故n=1+2+3+k2005 2005验证得当k=62时，n取最大值为1953-（12分）16、解：设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆，则 -（6分） ， 解得 -（8分） S为正整数， S56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆此时，6+=11.5（时）答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆-（12分）17、解：不妨设ABC中B=36°.（1）若剖分线不过点B。不妨设剖分线为AD，此时，BAD是（36°，36°，108°）或者（36°，72°，72°）的三角形。若BAD是（36°，36°，108°）的三角形，则CAD或者是（144°，18°，18°）(如图1)，或者是（72°，54°，54°）(如图2)，或者是（36°，72°，72°）（如图3、4）。-（6分）（2）若剖分线过点B。不妨设剖分线为BE，那么，ABE必定是（132°，24°，24°），CBE是（156°，12°，12°）的三角形（如图5）。 所以，原三角形的最大内角可能是72°，90°，108°，126°，132°。-（12分）18、解：（1）方法一：A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，A1B1=，A2B2=，A3B3=.设直线A1A3的解析式为y=kx+b. 解得直线A1A3的解析式为 .CB2=2× . CA2=CB2-A2B2=.方法二：A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3， A1B1=，A2B2=，A3B3= . 由已知可得A1B1A3B3，CB2=(A1B1+A3B3)= . CA2=CB2-A2B2= . -（4分）（2）方法一：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为 n-1、n、n+1 . 则A1B1=，A2B2=，A3B3=.设直线A1A3的解析式为y=kx+b. 解得直线A1A3的解析式为 . -(8分)CB2= . CA2=CB2-A2B2=. -（10分）方法二：设A1、A2、A3三点的横坐标依次为n-1、n、n+1 .则A1B1=，A2B2=，A3B3=由已知可得A1B1A3B3，CB2=(A1B1+A3B3)= = .CA2=CB2-A2B2=.（3）当a0时，CA2=a；当a0时，CA2=-a. -（14分）