（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 四十五 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 文

课时分层作业 四十五直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·秦皇岛模拟)直线x+y+1=0的倾斜角是()A.B.C.D.【解析】选D.由直线的方程得直线的斜率为k=-,设倾斜角为,则tan =-,又0,),所以=.【变式备选】设直线l与x轴的交点是P,且倾斜角为,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为+45°,则()A.0°180°B.0°<135°C.0°<180°D.0°<<135°【解析】选D.因为所以0°<<135°.2.已知A(3,4),B(-1,0),则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是()A.x-y+2-=0B.x-y+1-2=0C.x+y-2-=0D.x+3y-6-=0【解析】选C.由题意可知AB的中点坐标为(1,2),且所求直线的斜率k=tan 120° =-,所以直线方程为y-2=-(x-1),即x+y-2-=0.3.在等腰三角形AOB中,AO=AB,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为()A.y-1=3(x-3)B.y-1=-3(x-3)C.y-3=3(x-1)D.y-3=-3(x-1)【解析】选D.因为AO=AB,所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数,所以kAB=-kOA=-3,所以直线AB的点斜式方程为y-3=-3(x-1).4.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1D.k1<k3<k2【解析】选B.因为l3的倾斜角为锐角,l1,l2的倾斜角为钝角,所以k1,k2都是负数,k3是正数,所以k3最大,排除C,D,又l1的倾斜角大于l2的倾斜角,所以k2<k1<0,所以k2<k1<k3.【变式备选】下列描述中正确的是()A.直线的倾斜角越大,斜率也越大B.斜率为2的直线有且仅有一条C.每一条直线都有纵截距D.过点P(-1,2),但是不过第三象限的直线的斜率的取值范围是-2k0【解析】选D.因为直线的倾斜角(0<,且)与斜率k的关系为k=tan ,如图,所以A错误,因为斜率为2的直线有无数条,所以B错误,因为垂直于x轴的直线(不含y轴)没有纵截距,所以C错误,如图过点P(-1,2),但是不过第三象限的直线的斜率的取值范围是-2k0,所以D正确.5.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是()A.-1<k<B.k>1或k<C.k>或k<-1D.k>或k<-1【解析】选D.直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-3<1-<3,解得k>或k<-1.【一题多解】选D.当k=0时,该直线在x轴上的截距不存在,不符合题意,所以可排除A,B,C三个选项.【变式备选】直线(a-1)x+y-a-3=0(a>1),当此直线在x,y轴上的截距和最小时,实数a的值是()A.1B.C.2D.3【解析】选D.当x=0时,y=a+3,当y=0时,x=,令t=a+3+=5+(a-1)+.因为a>1,所以a-1>0.所以t5+2=9.当且仅当a-1=,即a=3时,等号成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6. 若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角是直线4x-3y+2 019=0的倾斜角的一半,则y的值为_. 【解析】因为直线4x-3y+2 019=0的斜率为,所以由倾斜角的定义可知直线4x-3y+2 019=0的倾斜角满足tan =,因为0,),所以,所以=,解得tan=,由已知及倾斜角与斜率的关系得=,所以y=-.答案:-【变式备选】一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为_. 【解析】设所求直线的方程为+=1,因为A(-2,2)在直线上,所以-+=1.又因为直线与坐标轴围成的三角形面积为1,所以|a|·|b|=1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解.故所求的直线方程为+=1或+=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.答案:x+2y-2=0或2x+y+2=07.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB有公共点,则b的取值范围是_. 【解析】因为b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是-2,2.答案:-2,2【变式备选】已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是_. 【解析】如图所示,直线l:x+my+m=0过定点A(0,-1),当m0时,kQA= ,kPA=-2,kl=-.所以-2或-.解得0<m或-m<0;当m=0时,直线l的方程为x=0,与线段PQ有交点,所以实数m的取值范围为-m.答案:-m8.若直线l的斜率为k,倾斜角为,而,则k的取值范围是_.【解析】因为k=tan ,所以-k<0或k1.答案:-,0)【变式备选】已知直线的斜率为(-,-1),+),则它的倾斜角的取值范围是_. 【解析】因为k=tan ,0,),又直线的斜率为(-,-1),+),所以.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·无锡模拟)在ABC中,已知点A(5,-2),B(7,3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标.(2)求直线MN的方程.【解析】(1)设C(x,y).因为AC的中点M在y轴上,所以=0得x=-5,又因为BC的中点N在x轴上,所以=0得y=-3.所以C(-5,-3).(2)由(1)知C(-5,-3),所以M,N(1,0).由截距式得MN的方程为+=1,即5x-2y-5=0.10.(2018·青岛模拟)已知两点A(-1,2),B(m,3).(1)求直线AB的方程.(2)已知实数m,求直线AB的倾斜角的取值范围.【解析】(1)当m=-1时,直线AB的方程为x=-1,当m-1时,直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-(m+1)y+2m+3=0.当m=-1时,代入x-(m+1)y+2m+3=0,即x=-1,所以直线AB的方程为x-(m+1)y+2m+3=0.(2)当m=-1时,=;当m-1时,m+1(0,所以k=(-,-,所以.综合知,直线AB的倾斜角.1.(5分)已知数列an的通项公式为an=(nN*),其前n项和Sn=,则直线+=1与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.36B.45C.50D.55【解析】选B.由an=可知an=-,所以Sn=+=1-,又知Sn=,所以1-=,所以n=9.所以直线方程为+=1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9),所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×9=45.2.(5分)已知直线l过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l的方程为_. 【解析】若a=3b=0,则直线过原点(0,0),此时直线斜率k=-,直线方程为x+2y=0.若a=3b0,设直线方程为+=1,即+=1.由于点P(2,-1)在直线上,所以b=-.从而直线方程为-x-3y=1,即x+3y+1=0.综上所述,所求直线方程为x+2y=0或x+3y+1=0.答案:x+2y=0或x+3y+1=0【易错警示】解答本题易忽略截距为零的情况,导致求解时漏掉直线方程x+2y=0而致错.3.(5分)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号). 存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是k与b都是有理数;存在恰经过一个整点的直线.【解析】对于,因为直线y=x+满足,所以正确;对于,直线y=(x+1)上有且仅有一个整点(-1,0),所以错误;对于,若l经过两个不同的整点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1=x2时,l的方程为x=x1,当y1=y2时,直线l的方程为y=y1,当x1x2,且y1y2时,直线l的方程为=,去分母整理得(x2-x1)(y-y1) =(y2-y1)(x-x1),所以当x是整数时,y也是整数,所以正确;对于,由的例可知错误;对于,由可知正确.答案:4.(12分)已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.求:(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程.(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.【解析】(1)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).则直线l的方程为+=1,则+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2+2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.(2)设直线l的斜率为k,则k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A, B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2=2+k2+2+2=4,当且仅当k2=,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.5.(13分)已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程: (1)过定点A(-3,4).(2)斜率为.【解析】(1)设直线l的方程为y=k(x+3)+4,它在x轴,y轴上的截距分别是- -3,3k+4,由已知,得(3k+4)=±6,解得k1=-或k2=-.故直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.(2)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知,得|-6b·b|=6,所以b=±1.所以直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.