2016届高考数学二轮复习 专题能力训练15 椭圆、双曲线与抛物线 文

专题能力训练15椭圆、双曲线与抛物线一、选择题1.(2014四川内江四模)双曲线=1的离心率e=()A.2B.C.D.32.(2014河北唐山二模)已知椭圆C1:=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.B.C.D.3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=14.(2014课标全国高考,文10)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.1B.2C.4D.85.已知实数4,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为()A.B.C.D.6.(2014四川凉山州第二次诊断)若F1,F2是双曲线=1的两个焦点,点P是该双曲线上一点,满足|PF1|+|PF2|=9,则|PF1|·|PF2|=()A.4B.5C.1D.二、填空题7.(2014四川资阳模拟)顶点在原点,对称轴是y轴,并且经过点P(-4,-2)的抛物线方程是. 8.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为. 9.(2014山东高考,文15)已知双曲线=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为. 三、解答题10.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为b.(1)求椭圆C的离心率e;(2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O:x2+y2=4上,求椭圆C的方程及点P的坐标.11.(2014福建高考,文21)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.12.过椭圆=1(a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线,与椭圆的另一个交点为B,与y轴的交点为C,已知.(1)求椭圆的离心率;(2)设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q,若x轴上存在一定点M(1,0),使得PMQM,求椭圆的方程.答案与解析专题能力训练15椭圆、双曲线与抛物线1.A解析:由双曲线的标准方程可知c2=16+48=64,c=8,a=4.e=2.2.C解析:从椭圆上长轴端点向圆引两条切线P'A,P'B,则两切线形成的角AP'B最小.若椭圆C1上存在点P',令切线互相垂直,则只需AP'B90°,即=AP'O45°,sin=sin45°=.又b2=a2-c2,a22c2,e2,即e.又0<e<1,e<1,即e.3.A解析:由题意得双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线的方程为y=±x,即bx±ay=0.又圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,半径为2,圆心坐标为(3,0),a2+b2=9,且=2,解得a2=5,b2=4.该双曲线的方程为=1.4.A解析:由抛物线方程y2=x知,2p=1,即其准线方程为x=-.因为点A在抛物线上,由抛物线的定义知|AF|=x0+=x0+,于是x0=x0+,解得x0=1,故选A.5.C解析:因为已知实数4,m,9构成一个等比数列,所以可得m2=36,解得m=6或m=-6.当圆锥曲线为椭圆时,即+y2=1的方程为+y2=1.所以a2=6,b2=1,则c2=a2-b2=5.所以离心率e=.当是双曲线时可求得离心率为.故选C.6.D解析:由题意结合双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=4.则由可解得|PF1|·|PF2|=.故选D.7.=1解析:由椭圆的第一定义可知ABF2的周长为4a=16,得a=4,又离心率为,即,所以c=2.故a2=16,b2=a2-c2=16-8=8,椭圆C的方程为=1.8.y=±x解析:由已知得|OA|=a.|AF|=c,|OF|=b,b=.抛物线的准线y=-=-b.把y=-b代入双曲线=1得x2=2a2,直线y=-被双曲线截得的线段长为2a,从而2a=2c.c=a,a2+b2=2a2,a=b,渐近线方程为y=±x.9.解:(1)由点F(-ae,0),点A(0,b),及b=,得直线FA的方程为=1,即x-ey+ae=0.原点O到直线FA的距离为b=ae,·a=ae,解得e=.(2)设椭圆C的左焦点F关于直线l:2x+y=0的对称点为P(x0,y0),则有解得x0=a,y0=a.点P在圆x2+y2=4上,=4.a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故椭圆C的方程为=1,点P的坐标为.10.解法一:(1)设S(x,y)为曲线上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线的方程为y=x2,设P(x0,y0)(x00),则y0=,由y'=x,得切线l的斜率k=y'x0,所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得A.由得M.又N(0,3),所以圆心C,半径r=|MN|=,|AB|=.所以点P在曲线上运动时,线段AB的长度不变.解法二:(1)设S(x,y)为曲线上任意一点,则|y-(-3)|-=2,依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3,所以=y+1,化简得,曲线的方程为x2=4y.(2)同解法一.11.解:(1)由题意可知A(-a,0),设直线方程为y=2(x+a),B(x1,y1).令x=0,得y=2a,C(0,2a).=(x1+a,y1),=(-x1,2a-y1).,x1+a=(-x1),y1=(2a-y1),整理得x1=-a,y1=a.B点在椭圆上,=1.,即1-e2=,e=.(2),可设b2=3t,a2=4t(t>0),椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0,由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0.动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P,=0,即64k2m2-4(3+4m2)(4m2-12t)=0,整理得m2=3t+4k2t.设P(x1,y1),则有x1=-=-,y1=kx1+m=,P.又M(1,0),Q(4,4k+m),若x轴上存在一定点M(1,0),使得PMQM,则=0,即·(-3,-(4k+m)=0恒成立,整理得3+4k2=m2,3+4k2=3t+4k2t恒成立.t=1,故所求椭圆方程为=1.