2017春高中数学第1章解三角形综合检测新人教a版必修

2017春高中数学 第1章 解三角形综合检测 新人教A版必修5一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，a80，b100，A45°，则此三角形解的情况是(B)A一解B两解C一解或两解D无解解析bsinA100×50<80，bsinA<a<b，此三角形有两解2(2015·吉林省长春市质量监测)已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为(C)AB1CD2解析a2b2c2bc，cosA，A，又bc4，ABC的面积为bcsinA，故选C3(2016·吉林绥化一模)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为10 km和20 km，灯塔A在观察站C的北偏东15°方向上，灯塔B在观察站C的南偏西75°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(B)A10 kmB10 kmC10 kmD30 km解析在ABC中，ACB15°90°(90°75°)120°.已知AC10km，BC20km，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos120°1022022×10×20×()700，AB10.故选B4已知钝角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是(C)A1<x<5B<x<C1<x<或<x<5D1<x<解析当x为最大边时，<x<5；当3为最大边时，1<x<.x的取值范围是：1<x<或<x<5.5已知关于x的方程x2xcosA·cosB2sin20的两根之和等于两根之积的一半，则ABC一定是(C)A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形解析由题意知：cosA·cosBsin2，cosA·cosBcos180°(AB)cos(AB)，(cosA·cosBsinA·sinB)，cos(AB)1，AB0，AB，ABC为等腰三角形，故选C6等腰ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是(A)A30°或150°B15°或75°C30°D15°解析由题意：sinBcosB.两边平方得sin2B，设顶角为A，则A180°2BsinAsin(180°2B)sin2B，A30°或150°.7在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知8b5c，C2B，则cosC(A)ABC±D解析由及8b5c，C2B得，5sin2B8sinB，cosB，cosCcos2B2cos2B1.8(2015·东北三省四市联考)若G是ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且abc0，则角A(D)A90°B60°C45°D30°解析由重心性质可知0，故，代入abc0中，即(ba)(ca)0，因为，不共线，则即故cosA，因为0<A<180°，所以A30°，故选D9ABC中，已知下列条件：b3，c4，B30°；a5，b8，A30°；c6，b3，B60°；c9，b12，C60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是(A)ABCD解析csinB<b<c，故有两解；bsinA<a<b，故有两解；bcsinB，有一解；c<bsinC，无解所以有两解的有，故选A10在ABC中，三边长分别为a2，a，a2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为(B)ABCD解析三边不等，最大角大于60°，设最大角为，故对的边长为a2.sin，120°，由余弦定理，得(a2)2(a2)2a2a(a2)，即a25a，解得a5，三边长为3,5,7，SABC×3×5×sin120°.11(2016·江西一模)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosAsinA0，则的值是(B)A1BCD2解析将cosAsinA0，整理得(cosAsinA)(cosBsinB)2，即cosAcosBsinBcosAsinAcosBsinAsinBcos(AB)sin(AB)2，cos(AB)1，sin(AB)1，AB0，AB，即AB，C.利用2R，得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，则.(R为ABC的外接圆半径)12如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(B)A20()n mile/hB20()n mile/hC20()n mile/hD20()n mile/h解析由题意可知SMN15°30°45°，MS20，MNS45°(90°30°)105°，设货轮每小时航行xn mile，则MNx，MSN180°105°45°30°，由正弦定理，得，sin105°sin(60°45°)sin60°cos45°cos60°sin45°，x20()，故选B二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13在ABC中，已知b1，sinC，bcosCccosB2，则·或.解析由余弦定理的推论，得cosC，cosB.bcosCccosB2，2，a2，即|2.sinC，0°<C<180°，cosC，或cosC.又b1，即|1，·，或·.14已知ABC的周长为1，且sinAsinBsinC若ABC的面积为sinC，则C60°.解析sinAsinBsinCabc.又abc1，c1，ab.又SABCabsinCsinCab，cosC，C60°.15(2016·河北石家庄市一模)已知ABC中，AC4，BC2，BAC60°，ADBC于D，则的值为6.解析在ABC中，AC4，BC2，BAC60°，由余弦定理得cos60°，解得AB6(负值舍去)因为RtABD与RtACD有公共边AD，所以62BD242(2BD)2，解得BD，所以CD，所以CD.故6.16在ABC中，cos2，则ABC的形状为直角三角形.解析cos2，cosA.由余弦定理的推论，得cosA，a2b2c2.ABC为直角三角形三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)(2016·北京理，15)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大小；(2)求cosAcosC的最大值解析(1)由余弦定理及题设条件得cosB.又0<B<，所以<B.(2)由(1)知AC，则cosAcosCcosAcoscosAcosAsinAcosAsinAcos.因为0<A<，所以当A时，cosAcosC取得最大值1.18(本题满分12分)(2015·广州市综合检测)已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且abc753.(1)求cosA的值；(2)若ABC的面积为45，求ABC外接圆半径的大小解析(1)因为abc753，所以可设a7k，b5k，c3k(k>0)，由余弦定理得cosA.(2)由(1)知cosA，因为A是ABC的内角，所以sinA.由(1)知b5k，c3k，因为ABC的面积为45，所以bcsinA45，即×5k×3k×45，解得k2.由正弦定理得2R28，解得R14，所以ABC外接圆半径的大小为14.19(本题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km内不能收到手机信号检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解析如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1km.在ABC中，AB1.732，AC1，ABC30°，由正弦定理，得sinACB，ACB120°(ACB60°不合题意)，BAC30°，BCAC1.在ACD中，ACAD，ACD60°，ACD为等边三角形，CD1.×605，在BC上需要5min，CD上需要5min.最长需要5min检查员开始收不到信号，并至少持续5min该考点才算合格20(本题满分12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·2，cosB，b3，求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解析(1)由·2得c·acosB2.又cosB，所以ac6.由余弦定理得a2c2b22accosB又b3，所以a2c292×6×13.解得a2，c3或a3，c2.因为a>c，所以a3，c2.(2)在ABC中，sinB.由正弦定理，得sinCsinB×.因为ab>c，所以C为锐角，因此cosC.于是cos(BC)cosBcosCsinBsinC××.21(本题满分12分)(2015·山东淄博市检测)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA.(1)求角A的大小；(2)当a时，求c2b2的最大值，并判断此时ABC的形状解析(1)由已知及余弦定理，得，sinA，因为A为锐角，所以A60°.(2)解法1：由正弦定理，得2，所以b2sinB，c2sinC2sin(120°B)c2b24sin2Bsin2(120°B)44cos2Bsin2B42sin(2B30°)由，得30°<B<90°，所以30°<2B30°<150°，当sin(2B30°)1，即B60°时，(c2b2)max6，此时C60°，ABC为等边三角形解法2：由余弦定理得()2b2c22bccos60°b2c2bc3.bc(当且仅当bc时取