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2017春高中数学第1章解三角形综合检测新人教a版必修

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    • 1、2017春高中数学 第1章 解三角形综合检测 新人教A版必修5一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在ABC中,a80,b100,A45,则此三角形解的情况是(B)A一解B两解C一解或两解D无解解析bsinA1005080,bsinAab,此三角形有两解2(2015吉林省长春市质量监测)已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2b2c2bc,bc4,则ABC的面积为(C)AB1CD2解析a2b2c2bc,cosA,A,又bc4,ABC的面积为bcsinA,故选C3(2016吉林绥化一模)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为10 km和20 km,灯塔A在观察站C的北偏东15方向上,灯塔B在观察站C的南偏西75方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为(B)A10 kmB10 kmC10 kmD30 km解析在ABC中,ACB1590(9075)120.已知AC10km,BC20km,由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos12010220221020()700,AB10.故选B4已知钝角三角形的三边长

      2、分别为2、3、x,则x的取值范围是(C)A1x5BxC1x或x5D1x解析当x为最大边时,x5;当3为最大边时,1x.x的取值范围是:1x或x5.5已知关于x的方程x2xcosAcosB2sin20的两根之和等于两根之积的一半,则ABC一定是(C)A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形解析由题意知:cosAcosBsin2,cosAcosBcos180(AB)cos(AB),(cosAcosBsinAsinB),cos(AB)1,AB0,AB,ABC为等腰三角形,故选C6等腰ABC底角B的正弦与余弦的和为,则它的顶角是(A)A30或150B15或75C30D15解析由题意:sinBcosB.两边平方得sin2B,设顶角为A,则A1802BsinAsin(1802B)sin2B,A30或150.7在ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知8b5c,C2B,则cosC(A)ABCD解析由及8b5c,C2B得,5sin2B8sinB,cosB,cosCcos2B2cos2B1.8(2015东北三省四市联考)若G是ABC的重心,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且ab

      3、c0,则角A(D)A90B60C45D30解析由重心性质可知0,故,代入abc0中,即(ba)(ca)0,因为,不共线,则即故cosA,因为0A180,所以A30,故选D9ABC中,已知下列条件:b3,c4,B30;a5,b8,A30;c6,b3,B60;c9,b12,C60.其中满足上述条件的三角形有两解的是(A)ABCD解析csinBbc,故有两解;bsinAab,故有两解;bcsinB,有一解;cbsinC,无解所以有两解的有,故选A10在ABC中,三边长分别为a2,a,a2,最大角的正弦值为,则这个三角形的面积为(B)ABCD解析三边不等,最大角大于60,设最大角为,故对的边长为a2.sin,120,由余弦定理,得(a2)2(a2)2a2a(a2),即a25a,解得a5,三边长为3,5,7,SABC35sin120.11(2016江西一模)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若cosAsinA0,则的值是(B)A1BCD2解析将cosAsinA0,整理得(cosAsinA)(cosBsinB)2,即cosAcosBsinBcosAsinAcosBsinAsin

      4、Bcos(AB)sin(AB)2,cos(AB)1,sin(AB)1,AB0,AB,即AB,C.利用2R,得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC,则.(R为ABC的外接圆半径)12如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15,与灯塔S相距20n mile,随后货轮按北偏西30的方向航行30min后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为(B)A20()n mile/hB20()n mile/hC20()n mile/hD20()n mile/h解析由题意可知SMN153045,MS20,MNS45(9030)105,设货轮每小时航行xn mile,则MNx,MSN1801054530,由正弦定理,得,sin105sin(6045)sin60cos45cos60sin45,x20(),故选B二、填空题(本大题共4个小题,每个小题4分,共16分将正确答案填在题中横线上)13在ABC中,已知b1,sinC,bcosCccosB2,则或.解析由余弦定理的推论,得cosC,cosB.bcosCccosB2,2,a2,即|2.sinC,0C180,cosC,或cosC.又b1

      5、,即|1,或.14已知ABC的周长为1,且sinAsinBsinC若ABC的面积为sinC,则C60.解析sinAsinBsinCabc.又abc1,c1,ab.又SABCabsinCsinCab,cosC,C60.15(2016河北石家庄市一模)已知ABC中,AC4,BC2,BAC60,ADBC于D,则的值为6.解析在ABC中,AC4,BC2,BAC60,由余弦定理得cos60,解得AB6(负值舍去)因为RtABD与RtACD有公共边AD,所以62BD242(2BD)2,解得BD,所以CD,所以CD.故6.16在ABC中,cos2,则ABC的形状为直角三角形.解析cos2,cosA.由余弦定理的推论,得cosA,a2b2c2.ABC为直角三角形三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)(2016北京理,15)在ABC中,a2c2b2ac.(1)求B的大小;(2)求cosAcosC的最大值解析(1)由余弦定理及题设条件得cosB.又0B,所以B.(2)由(1)知AC,则cosAcosCcosAcoscosAcosAsinAco

      6、sAsinAcos.因为0A0),由余弦定理得cosA.(2)由(1)知cosA,因为A是ABC的内角,所以sinA.由(1)知b5k,c3k,因为ABC的面积为45,所以bcsinA45,即5k3k45,解得k2.由正弦定理得2R28,解得R14,所以ABC外接圆半径的大小为14.19(本题满分12分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1km内不能收到手机信号检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约km有一条北偏东60方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以12km/h的速度沿公路行驶,最长需要多少时间,检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?解析如图所示,考点为A,检查开始处为B,设公路上C,D两点到考点的距离为1km.在ABC中,AB1.732,AC1,ABC30,由正弦定理,得sinACB,ACB120(ACB60不合题意),BAC30,BCAC1.在ACD中,ACAD,ACD60,ACD为等边三角形,CD1.605,在BC上需要5min,CD上需要5min.最长需要5min检查员开始收不到信号,并至少持续5min该考点才算合格2

      7、0(本题满分12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac,已知2,cosB,b3,求:(1)a和c的值;(2)cos(BC)的值解析(1)由2得cacosB2.又cosB,所以ac6.由余弦定理得a2c2b22accosB又b3,所以a2c292613.解得a2,c3或a3,c2.因为ac,所以a3,c2.(2)在ABC中,sinB.由正弦定理,得sinCsinB.因为abc,所以C为锐角,因此cosC.于是cos(BC)cosBcosCsinBsinC.21(本题满分12分)(2015山东淄博市检测)已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanA.(1)求角A的大小;(2)当a时,求c2b2的最大值,并判断此时ABC的形状解析(1)由已知及余弦定理,得,sinA,因为A为锐角,所以A60.(2)解法1:由正弦定理,得2,所以b2sinB,c2sinC2sin(120B)c2b24sin2Bsin2(120B)44cos2Bsin2B42sin(2B30)由,得30B90,所以302B30150,当sin(2B30)1,即B60时,(c2b2)max6,此时C60,ABC为等边三角形解法2:由余弦定理得()2b2c22bccos60b2c2bc3.bc(当且仅当bc时取

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