2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法课时作业新人教版选修

2.2.1综合法和分析法明目标、知重点1了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法 2理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题1综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式2一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法3分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止情境导学证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识探究点一综合法思考1请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明因为b2c22bc，a>0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b>0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.总结：此证明过程运用了综合法综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法思考2综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理例1在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形证明由A，B，C成等差数列，有2BAC，由A，B，C为ABC的三个内角，所以ABC.由，得B，由a，b，c成等比数列，有b2ac，由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，从而ac，所以AC.由，得ABC，所以ABC为等边三角形反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程跟踪训练1在ABC中，证明：BC.证明在ABC中，由正弦定理及已知得.于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0，因为<BC<，从而BC0，所以BC.探究点二分析法思考1回顾一下：基本不等式(a>0，b>0)是怎样证明的？答要证，只需证ab2，只需证ab20，只需证()20，因为()20显然成立，所以原不等式成立思考2证明过程有何特点？答从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件小结分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法思考3综合法和分析法的区别是什么？答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件例2求证：<2.证明因为和2都是正数，所以要证<2，只需证()2<(2)2，展开得102<20，只需证<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以<2成立反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法跟踪训练2求证：<(a3)证明方法一要证<，只需证<，只需证()2<()2，只需证2a32<2a32，只需证<，只需证0<2，而0<2显然成立，所以<(a3)方法二>，<，<.探究点三综合法和分析法的综合应用思考在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若PQ，则结论得证例3已知，k(kZ)，且sin cos 2sin ，sin cos sin2. 求证：.证明因为(sin cos )22sin cos 1，所以将代入，可得4sin22sin21. 另一方面，要证，即证，即证cos2sin2(cos2sin2)，即证12sin2(12sin2)，即证4sin22sin21.由于上式与相同，于是问题得证反思与感悟用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：跟踪训练3若tan()2tan ，求证：3sin sin(2)证明由tan()2tan 得，即sin()cos 2cos()sin .要证3sin sin(2)，即证3sin()sin()，即证3sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin ，化简得sin()cos 2cos()sin .这就是式所以，命题成立1已知y>x>0，且xy1，那么()Ax<<y<2xy B2xy<x<<yCx<<2xy<y Dx<2xy<<y答案D解析y>x>0，且xy1，设y，x，则，2xy，x<2xy<<y，故选D.2欲证<成立，只需证()A()2<()2B()2<()2C()2<()2D()2<()2答案C解析根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，只需证：<，只需证：()2<()2.3求证：<2.解因为logab，所以左边log1952log1933log192log195log1932log1923log19(5×32×23)log19360.因为log19360<log193612，所以<2.4已知1，求证：cos sin 3(cos sin )证明要证cos sin 3(cos sin )，只需证3，只需证3，只需证1tan 3(1tan )，只需证tan ，1，1tan 2tan ，即2tan 1.tan 显然成立，结论得证呈重点、现规律1综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因2分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语3在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.一、基础过关1已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是()A若a>b，则ac2>bc2B若>，则a>bC若a3>b3且ab<0，则>D若a2>b2且ab>0，则<答案C解析对于A：若c0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，则，所以>，故C对；对于D：若，则D不成立2A、B为ABC的内角，A>B是sin A>sin B的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析由正弦定理2R，又A、B为三角形的内角，sin A>0，sin B>0，sin A>sin B2Rsin A>2Rsin Ba>bA>B.3已知直线l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则.其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析若l，m，则l，所以lm，正确；若l，m，lm，与可能相交，不正确；若l，m，l与m可能平行或异面，不正确；若l，m，lm，则m，所以，正确4设a，bR，且ab，ab2，则必有()A1ab Bab<1<Cab<<1 D.<ab<1答案B解析因为ab，故>ab.又因为ab2>2，故ab<1，2ab>1，即>1>ab.5已知a，b为非零实数，则使不等式：2成立的一个充分不必要条件是()Aab>0 Bab<0Ca>0，b<0 Da>0，b>0答案C解析与同号，由2，知<0，<0，即ab<0.又若ab<0，则<0，<0.22，综上，ab<0是2成立的充要条件，a>0，b<0是2成立的一个充分而不必要条件6要证明<2，可选择的方法有很多，最合理的应为_答案分析法7设ab>0，求证：3a32b33a2b2ab2.证明方法一3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因为ab>0，所以ab0,3a22b2>0，从而(3a22b2)(ab)0，所以3a32b33a2b2ab2.方法二要证3a32b33a2b2ab2，只需证3a2(ab)2b2(ab)0，只需证(3a22b2)(ab)0，ab>0，ab0,3a22b2>2a22b20，上式成立二、能力提升8已知a、b、cR，且abc0，abc>0，则的值()A一定是正数 B一定是负数C可能是0 D正、负不能确定答案B解析(abc)2a2b2c22(abbcca)0，又abc>0，a，b，c均不为0，a2b2c2>0.abbcca<0，<0.9设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_答案a>c>b解析a2c22(84)46>0，a>c.>1，c>b.10已知pa(a>2)，q2a24a2(a>2)，则p、q的大小关系为_答案p>q解析pa222·24，a24a22(a2)2<2，q<224p.11.如图所示，在