2017-2018学年高中数学 考点49 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差（含2014年高考试题）新人教a版

考点49离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、选择题1. （2014·浙江高考理科·9）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则 A. B.C. D.【解题指南】根据概率和数学期望的有关知识，分别计算、和、在比较大小.【解析】选A.随机变量的分布列如下：12123所以，所以因为， 所以二、填空题2. （2014·上海高考理科·13）【解题提示】根据期望公式结合分布列的性质可得.【解析】3. （2014·浙江高考理科·12）随机变量的取值为0,1,2，若，则_.【解题指南】根据离散型随机变量的均值与方差的性质计算【解析】设时的概率为，则，解得，故答案：三、解答题4. （2014·湖北高考理科·20）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1) 求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量X发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万，欲使水电站年利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解题指南】（）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到 【解析】（）依题意，由二项分布，在未来4年中至多有一年的年入流量超过120的概率为（）记水电站年总利润为（1） 安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润， （2）安装2台发电机的情形依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；由此得的分布列如下Y420010000P0.20.8所以，。（3）安装3台发电机的情形依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此由此得的分布列如下Y3400820015000P0.20.70.1所以，。综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台。5. （2014·湖南高考理科·17）（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望【解题提示】(1)利用独立事件的乘法公式求解;(2)利用分布列、期望的定义求解。【解析】记E=甲组研发新产品成功，F=乙组研发新产品成功。由题设知，（1）且事件与，与，与，与都相互独立。记H=至少有一种新产品研发成功，则，于是故所求的概率为（2）设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0，100，120，220，因故所求的分布列为X0100120220P数学期望为6.(2014·广东高考理科)(13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36,根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分组频数频率25,3030.12(30,3550.20(35,4080.32(40,45n1f1(45,50n2f2(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值.(1)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图.(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35的概率.【解题提示】(1)在所给的数据中圈出(40,45,(45,50的数字可得n1,n2的值,再换算出f1,f2的值.(2)建立坐标系,用计算各组纵坐标的值.(3)根据“样本频率分布直方图”判断为二项分布型,再用对立事件的概率求解.【解析】(1)由所给的数据,知在(40,45的有42,41,44,45,43,43,42,即n1=7;在(45,50的有49,46,即n2=2,(列出有关数据,直接写出n1=7,n2=2会被扣分)f1=0.28,f2=0.08.(2)算得各组的的值分别为:=0.024, =0.04, =0.064,=0.065,=0.016,(要具体算出来,否则要被扣分)“样本分布直方图”如图所示;7.（2014·福建高考理科·18）18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求顾客所获的奖励额为60元的概率顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【解题指南】列分布表，再按公式求期望；欲让每位顾客所获得的奖励相对平衡，则应求方差，方差小的为最佳方案【解析】(1I)设顾客所获的奖励额为.依题意，得，即顾客所获的奖励额为元的概率；3分依题意，得的所有可能取值为，(或)即的分布列为：顾客所获的奖励额的数学期望(元).6分(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况.如果选择的方案，因为60元是面值之和的最大值.所以期望不可能为60元；如果选择的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是，记为方案1.8分对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除和的方案，所以可能的方案是，记为方案2.9分以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案，设顾客所获的奖励额为，则的分布列为2060100的期望为，的方差为.11分对于方案2，即方案，设顾客所获的奖励额为，则的分布列为206080的期望为，的方差为.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.13分注：第(2)问，给出方案1或方案2的任一种方案，并利用期望说明所给方案满足要求，给3分；进一步比较方差，说明应选择方案2，再给2分.(3)根据“样本频率分布直方图”,以频率估计概率,则在该厂任取1人,其加工零件数据落在(30,35的频率为0.20,估计其概率为0.20(这个要写,否则会被扣分,需点明“频率估计概率”),在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35的概率为P(A)=1- (0.2)0(1-0.2)4=0.5904(二项分布型概率,间接求较为方便),所求的概率为0.5904.8. （2014·山东高考理科·18）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.【解题指南】(1)本题考查了相互独立事件的概率.(2)本题考查的是随机变量的分布列及数学期望,先列出的所有值,并求出每个值所对应的概率,列出分布列,然后根据公式求出数学期望.【解析】（I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为（II） 0123469.(2014·陕西高考理科·T19)(本小题满分12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列.(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.【解题指南】(1)先由已知确定X所有可能的取值,再利用概率公式求出X对应值的概率,从而得到X的分布列.(2)利用问题(1)的结论得某1季此作物的利润不少于2000元的概率,再分类求得这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.【解析】(1)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,因为利润=产量×市场价格-成本.所以X所有可能的取值为500×10-1000=4000500×6-1000=2000300×10-1000=2000300×6-1000=800P(X=4000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=2000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2.所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2000元的概率为P