2019年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例学案理北师大版
第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲传真(教师用书独具)1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题(对应学生用书第74页)基础知识填充1平面向量的数量积(1)向量的夹角定义：已知两个非零向量a和b，如图431，作a，b，则AOB(0°180°)叫作a与b的夹角图431当0°时，a与b同向当180°时，a与b反向当90°时，a与b垂直(2)向量的数量积定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b|a|b|cos ，由定义可知零向量与任一向量的数量积为0 ，即0·a0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积2平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·bb·a；(2)数乘结合律：(a)·b(a·b)a·(b)；(3)分配律：a·(bc)a·ba·c.3平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积a·b|a|b|cos a·bx1x2y1y2夹角cos cos aba·b0x1x2y1y20|a·b|与|a|b|的关系|a·b|a|b|x1x2y1y2|·知识拓展两个向量a，b的夹角为锐角a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角a·b0且a，b不共线基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量()(2)由a·b0，可得a0或b0.()(3)向量ab的充要条件：a·b0x1x2y1y20.()(4)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角()(5)a·ba·c(a0)，则bc.()答案(1)(2)×(3)×(4)×(5)×2(2016·全国卷)已知向量，则ABC()A30°B45°C60°D120°A因为，所以·.又因为·|cosABC1×1×cosABC，所以cosABC.又0°ABC180°，所以ABC30°.故选A3向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)·a()A1B0C1D2C法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，a·b3，从而(2ab)·a2a2a·b431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)·a(1,0)·(1，1)1，故选C4(教材改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120°，则向量b在向量a方向上的投影为_2由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4×cos 120°2.5(2017·全国卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.7a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又ab与a垂直，(ab)·a0，即(m1)×(1)3×20，解得m7.(对应学生用书第75页)平面向量数量积的运算(1)(2017·南宁二次适应性测试)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则·()ABCD(2)(2017·北京高考)已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则·的最大值为_. 【导学号：79140156】(1)A(2)6(1)由等边三角形的性质得|，120°，所以·|cos，××，故选A(2)法一：根据题意作出图像，如图所示，A(2,0)，P(x，y)由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)·|cos ，|2，|，cos ，所以·2(x2)2x4.点P在圆x2y21上，所以x1,1所以·的最大值为246.法二：如图所示，因为点P在圆x2y21上，所以可设P(cos ，sin )(0<2)，所以(2,0)，(cos 2，sin )，·2cos 4246，当且仅当cos 1，即0，P(1,0)时“”号成立规律方法向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b|a|b|cos .(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·bx1x2y1y2.易错警示：(1)要有“基底”意识，关键是用基向量表示题目中所求相关向量.(2)注意向量夹角的大小，以及夹角0°，90°，180°三种特殊情形.跟踪训练(1)(2018·太原模拟(二)已知a(2,1)，b(1,1)，则a在b方向上的投影为()A B C D(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_；·的最大值为_(1)A(2)11由题意，得|b|，a·b1，所以a在b方向上的投影为|a|cos ，故选A法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0，1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以·(t，1)·(0，1)1.因为(1,0)，所以·(t，1)·(1,0)t1，故·的最大值为1.法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，所以·|·11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC1，所以(·)max|·11.平面向量数量积的性质角度1平面向量的模(2018·合肥二检)设向量a，b满足|ab|4，a·b1，则|ab|()A2 B2 C3 D2B由|ab|4两边平方可得|a|2|b|2162a·b14，则|ab|2，故选B角度2平面向量的夹角(2018·济南一模)设向量a与b的夹角为，若a(3，1)，ba(1,1)，则cos _.(2)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b1，则|ab|的最小值为 ()A B C D1(1)(2)A(1)由题意得向量b(ba)a(2,0)，所以cos .(2)由题意可知：1a·b|a|·|b|cos 120°，所以2|a|·|b|.即|a|2|b|24，|ab|2a22a·bb2a2b22426，所以|ab|.角度3平面向量的垂直(2018·深圳二调)已知平面向量a，b，若|a|，|b|2，a与b的夹角，且(amb)a，则m()A B1 C D2B由(amb)a可得(amb)·aa2ma·b3m××2×cos0，解得m1，故选B 规律方法平面向量数量积性质的应用类型与求解策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，.(2)两向量垂直的应用：aba·b0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有a2a·a|a|2或|a|.|a±b|.若a(x，y)，则|a|.(4)射影的数量(投影)a在b上的投影|a|a，b.跟踪训练(1)(2017·山西四校联考)已知|a|1，|b|，且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为()A B C D(2)(2017·全国卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|2，|b|1，则|a2b|_.(3)已知向量与的夹角为120°，且|3，|2.若，且，则实数的值为_. 【导学号：79140157】(1)B(2)2(3)a(ab)，a·(ab)a2a·b1cosa，b0，cosa，b，a，b.(2)法一：|a2b|2.法二：(数形结合法)由|a|2b|2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60°，所以|a2b|2.(3)，由于，所以·0，即()·()22(1)·94(1)×3×2×0，解得.平面向量与三角函数的综合问题(2017·湖北仙桃一中期中)已知向量a，b，且x.(1)求a·b及|ab|；(2)若f(x)a·b|ab|，求f(x)的最大值和最小值解(1)a·bcoscossin·sincos 2x.ab，|ab|2|cos x|.x，cos x0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x12.x，cos x1，当cos x时，f(x)取得最小值；当cos x1时，f(x)取得最大值1. 规律方法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立的方法等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.跟踪训练在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以m·n0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，
