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2019年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例学案理北师大版

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  • 卖家[上传人]:san****019
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    • 1、第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲传真(教师用书独具)1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题(对应学生用书第74页)基础知识填充1平面向量的数量积(1)向量的夹角定义:已知两个非零向量a和b,如图431,作a,b,则AOB(0180)叫作a与b的夹角图431当0时,a与b同向当180时,a与b反向当90时,a与b垂直(2)向量的数量积定义:已知两个向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a|b|cos ,由定义可知零向量与任一向量的数量积为0 ,即0a0.(3)数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos 的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积2平面向量数量积的运算律(1)交换律:abba;(

      2、2)数乘结合律:(a)b(ab)a(b);(3)分配律:a(bc)abac.3平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),a,b结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|知识拓展两个向量a,b的夹角为锐角ab0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角ab0且a,b不共线基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)两个向量的数量积是一个实数,向量的数乘运算的运算结果是向量()(2)由ab0,可得a0或b0.()(3)向量ab的充要条件:ab0x1x2y1y20.()(4)若ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角()(5)abac(a0),则bc.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(2016全国卷)已知向量,则ABC()A30B45C60D120A因为,所以.又因为|cosABC11cosABC,所以cosABC.又0ABC180,所以ABC30.

      3、故选A3向量a(1,1),b(1,2),则(2ab)a()A1B0C1D2C法一:a(1,1),b(1,2),a22,ab3,从而(2ab)a2a2ab431.法二:a(1,1),b(1,2),2ab(2,2)(1,2)(1,0),从而(2ab)a(1,0)(1,1)1,故选C4(教材改编)已知|a|5,|b|4,a与b的夹角120,则向量b在向量a方向上的投影为_2由数量积的定义知,b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.5(2017全国卷)已知向量a(1,2),b(m,1)若向量ab与a垂直,则m_.7a(1,2),b(m,1),ab(1m,21)(m1,3)又ab与a垂直,(ab)a0,即(m1)(1)320,解得m7.(对应学生用书第75页)平面向量数量积的运算(1)(2017南宁二次适应性测试)线段AD,BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC,AC边上的高,则()ABCD(2)(2017北京高考)已知点P在圆x2y21上,点A的坐标为(2,0),O为原点,则的最大值为_. 【导学号:79140156】(1)A(2)6(1)由等边三角形的性质得|,120,所

      4、以|cos,故选A(2)法一:根据题意作出图像,如图所示,A(2,0),P(x,y)由点P向x轴作垂线交x轴于点Q,则点Q的坐标为(x,0)|cos ,|2,|,cos ,所以2(x2)2x4.点P在圆x2y21上,所以x1,1所以的最大值为246.法二:如图所示,因为点P在圆x2y21上,所以可设P(cos ,sin )(02),所以(2,0),(cos 2,sin ),2cos 4246,当且仅当cos 1,即0,P(1,0)时“”号成立规律方法向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab|a|b|cos .(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y2.易错警示:(1)要有“基底”意识,关键是用基向量表示题目中所求相关向量.(2)注意向量夹角的大小,以及夹角0,90,180三种特殊情形.跟踪训练(1)(2018太原模拟(二)已知a(2,1),b(1,1),则a在b方向上的投影为()A B C D(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_(1)A(2

      5、)11由题意,得|b|,ab1,所以a在b方向上的投影为|a|cos ,故选A法一:以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t0,1,则(t,1),(0,1),所以(t,1)(0,1)1.因为(1,0),所以(t,1)(1,0)t1,故的最大值为1.法二:由图知,无论E点在哪个位置,在方向上的投影都是CB1,所以|11,当E运动到B点时,在方向上的投影最大,即为DC1,所以()max|11.平面向量数量积的性质角度1平面向量的模(2018合肥二检)设向量a,b满足|ab|4,ab1,则|ab|()A2 B2 C3 D2B由|ab|4两边平方可得|a|2|b|2162ab14,则|ab|2,故选B角度2平面向量的夹角(2018济南一模)设向量a与b的夹角为,若a(3,1),ba(1,1),则cos _.(2)已知平面向量a,b的夹角为120,且ab1,则|ab|的最小值为 ()A B C D1(1)(2)A(1)由题意得向量b(ba)a(2,0),所以cos .(2)由题意可知:1ab|a|b|co

      6、s 120,所以2|a|b|.即|a|2|b|24,|ab|2a22abb2a2b22426,所以|ab|.角度3平面向量的垂直(2018深圳二调)已知平面向量a,b,若|a|,|b|2,a与b的夹角,且(amb)a,则m()A B1 C D2B由(amb)a可得(amb)aa2mab3m2cos0,解得m1,故选B 规律方法平面向量数量积性质的应用类型与求解策略(1)求两向量的夹角:cos ,要注意0,.(2)两向量垂直的应用:abab0|ab|ab|.(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x,y),则|a|.(4)射影的数量(投影)a在b上的投影|a|a,b.跟踪训练(1)(2017山西四校联考)已知|a|1,|b|,且a(ab),则向量a与向量b的夹角为()A B C D(2)(2017全国卷)已知向量a,b的夹角为60,|a|2,|b|1,则|a2b|_.(3)已知向量与的夹角为120,且|3,|2.若,且,则实数的值为_. 【导学号:79140157】(1)B(2)2(3)a(ab),a(ab)a2ab1cosa,b0,

      7、cosa,b,a,b.(2)法一:|a2b|2.法二:(数形结合法)由|a|2b|2,知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a2b|.又AOB60,所以|a2b|2.(3),由于,所以0,即()()22(1)94(1)320,解得.平面向量与三角函数的综合问题(2017湖北仙桃一中期中)已知向量a,b,且x.(1)求ab及|ab|;(2)若f(x)ab|ab|,求f(x)的最大值和最小值解(1)abcoscossinsincos 2x.ab,|ab|2|cos x|.x,cos x0,|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x12.x,cos x1,当cos x时,f(x)取得最小值;当cos x1时,f(x)取得最大值1. 规律方法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的方法等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.跟踪训练在平面直角坐标系xOy中,已知向量m,n(sin x,cos x),x.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值解(1)因为m,n(sin x,cos x),mn.所以mn0,即sin xcos x0,所以sin xcos x,所以tan x1.(2)因为|m|n|1,

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