2019年高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算学案文北师大版

第一节平面向量的概念及线性运算 考纲传真1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义(对应学生用书第57页) 基础知识填充1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当>0时，a的方向与a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3. 共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得bA知识拓展1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()3.xy(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则xy1.4ABC中，0点P为ABC的重心基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)若ab，bc，则aC()(3)ab是ab(R)的充要条件()(4)ABC中，D是BC的中点，则()()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(2015·全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()ABCDA().故选A3(2018·长春模拟)设点P是ABC所在平面内一点，且2，则_.0因为2，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故0.4(教材改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，则_，_(用a，b表示)baab如图，ba，aB5已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.由已知得abk(b3a)，得(对应学生用书第58页)平面向量的有关概念给出下列六个命题：若|a|b|，则ab或ab；若，则ABCD为平行四边形；若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；，为实数，若ab，则a与b共线；a0(为实数)，则必为零；a，b为非零向量，ab的充要条件是|a|b|且aB其中假命题的序号为_. 【导学号：00090124】不正确|a|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；不正确因为，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形不正确两向量不能比较大小不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线不正确当1，a0时，a0.不正确对于非零向量a，b，ab的充要条件是|a|b|且a，b同向规律方法1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. 2(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关3若a为非零向量，则是与a同向的单位向量，是与a反向的单位向量变式训练1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是 ()A0B1C2D3D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.平面向量的线性运算(1)(2018·开封模拟)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A B CD(2)(2018·广州模拟)在梯形ABCD中，ADBC，已知AD4，BC6，若mn(m，nR)，则()A3B CD3(1)C(2)A(1)如图，()·2.(2)如图，过D作DEAB，mn，所以n，m1，所以3.故选A规律方法向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解变式训练2(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()AB2 C3D4(2)(2018·北京模拟)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_. 【导学号：00090125】(1)D(2)(1)因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得2，2，所以4.故选D(2)由题中条件得，()xy，所以x，y.共线向量定理的应用设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab和akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)Ba，b是两个不共线的非零向量，kk10，k210，k±1.规律方法共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点变式训练3(1)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线DB，C，D三点共线(2)(2015·全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.(1)B(2)(1)2a6b2(a3b)2，共线，又有公共点B，A，B，D三点共线故选B(2)ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得