2018届高三数学二轮复习 冲刺提分作业 第一篇 专题突破 专题二 集合、常用逻辑用语 第3讲 导数及其应用 第1课时 利用导数研究函数的基本问题 理

第1课时利用导数研究函数的基本问题A组基础题组1.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为() A.e2B.2e2C.e2D.2.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2017贵阳检测)求曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积,其中正确的是()A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy4.若函数f(x)=cos x+2xf ',则f与f的大小关系是()A.f=fB.f>fC.f<fD.不确定5.已知函数f(x)=ln x-nx(n>0)的最大值为g(n),则使g(n)-n+2>0成立的n的取值范围为()A.(0,1)B.(0,+)C.D.6.(2017昆明教学质量检测)若函数f(x)=cos的图象在x=0处的切线方程为y=-3x+1,则=. 7.(2017湖南湘中名校高三联考)设f(x)=则f(x)dx的值为. 8.(2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是. 9.(2017贵州适应性考试)已知a>0,函数f(x) =a2x3-3ax2+2,g(x)=-3ax+3.(1)若a=1,求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间(-1,1)上的极值.10.(2017福州综合质量检测)已知函数f(x)=aln x+x2-ax(aR).(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)求g(x)=f(x)-2x在区间1,e上的最小值h(a).B组提升题组1.(2017广西三市第一次联考)已知函数f(x)=ex(x-b)(bR).若存在x,使得f(x)+xf '(x)>0,则实数b的取值范围是() A.B.C.D.2.(2017成都第一次诊断性检测)已知曲线C1:y2=tx(y>0,t>0)在点M处的切线与曲线C2:y=ex+1+1也相切,则t的值为()A.4e2B.4eC.D.3.(2017福建普通高中质量检测)已知函数f(x)=xcos x-(a+1)·sin x,x0,其中a.(1)证明:当x时,f(x)0;(2)判断f(x)的极值点个数,并说明理由.4.(2017南昌第一次模拟)已知函数f(x)=(2x-4)ex+a(x+2)2(x>0,aR,e是自然对数的底数).(1)若f(x)是(0,+)上的单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)当a时,证明:函数f(x)有最小值,并求函数f(x)的最小值的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.D由题意可得y'=ex,则所求切线的斜率k=e2,则所求切线方程为y-e2=e2(x-2).即y=e2x-e2,S=×1×e2=.2.Af '(x)=x2+a,当a>0时, f '(x)>0恒成立,但f '(x)>0 / a>0,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.3.B依题意,在同一坐标系下画出曲线y=x2与直线y=x的图象(图略),注意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1),结合图形及定积分的几何意义可知,所求封闭图形的面积可用定积分表示为(x-x2)dx,故选B.4.C依题意得f '(x)=-sin x+2f ',f '=-sin+2f ',f '=.易知f '(x)=-sin x+10,f(x)=cos x+x是R上的增函数,注意到-<,于是有f<f.5.A易知f(x)的定义域为(0,+),f '(x)=-n(x>0,n>0),当x时,f '(x)>0;当x时,f '(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)的最大值g(n)=f=-ln n-1.设h(n)=g(n)-n+2=-ln n-n+1.因为h'(n)=-1<0,所以h(n)在(0,+)上单调递减.又h(1)=0,所以当0<n<1时,h(n)>h(1)=0,故使g(n)-n+2>0成立的n的取值范围为(0,1),故选A.6.答案3解析由题意,得f '(x)=-·sin,所以f '(0)=-sin=-3,所以=3.7.答案+解析f(x)dx=dx+(x2-1)dx=×12+=+.8.答案解析易知函数f(x)的定义域关于原点对称.f(x)=x3-2x+ex-,f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-x3+2x+-ex=-f(x),f(x)为奇函数,又f '(x)=3x2-2+ex+3x2-2+2=3x20(当且仅当x=0时,取“=”),从而f(x)在R上单调递增,所以f(a-1)+f(2a2)0f(a-1)f(-2a2)-2a2a-1,解得-1a.9.解析(1)由f(x)=a2x3-3ax2+2,得f '(x)=3a2x2-6ax.当a=1时,f '(1)=-3,f(1)=0,所以f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程是y=-3x+3.(2)令f '(x)=0,得x1=0,x2=.当0<<1,即a>2时,x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,0)0f '(x)+0-0+f(x)极大值极小值故f(x)的极大值是f(0)=2;极小值是f=2-.当1,即0<a2时,f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,所以f(x)的极大值为f(0)=2,无极小值.10.解析(1)f(x)的定义域为(0,+),f '(x)=+2x-a=,因为x=3是f(x)的极值点,所以f '(3)=0,解得a=9,所以f '(x)=,所以当0<x<或x>3时,f '(x)>0;当<x<3时,f '(x)<0.所以x=3是f(x)的极小值点,所以f(x)的单调递增区间为,(3,+),单调递减区间为.(2)g'(x)=-2=.当1,即a2时,g(x)在1,e上为增函数,h(a)=g(1)=-a-1;当1<<e,即2<a<2e时,g(x)在上为减函数,在上为增函数,h(a)=g=aln-a2-a;当e,即a2e时,g(x)在1,e上为减函数,h(a)=g(e)=(1-e)a+e2-2e.综上,h(a)=B组提升题组1.Af(x)+xf '(x)>0xf(x)'>0,设g(x)=xf(x)=ex(x2-bx),若存在x,使得f(x)+xf '(x)>0,则函数g(x)在区间上存在子区间使得g'(x)>0成立.g'(x)=ex(x2-bx)+ex(2x-b)=exx2+(2-b)x-b,设h(x)=x2+(2-b)x-b,则h(2)>0或h>0,即8-3b>0或-b>0,得b<.2.A由y=,得y'=,则切线斜率为k=,所以切线方程为y-2=,即y=x+1.设切线与曲线y=ex+1+1的切点为(x0,y0).由y=ex+1+1,得y'=ex+1,则由=,得切点坐标为,故切线方程又可表示为y-1=,即y=x-ln+1,所以由题意,得-ln+1=1,即ln=2,解得t=4e2,故选A.3.解析(1)依题意,得f '(x)=-xsin x-acos x,因为a,所以当x时,f '(x)<0,所以f(x)在上单调递减,故当x时,f(x)f(0)=0成立.(2)f(x)有唯一极值点.理由如下:设p(x)=f '(x),则p'(x)=-xcos x+(a-1)sin x,因为a>1,所以当x时,p'(x)>0,所以p(x)在上单调递增,因为p=-<0,p()=a>0,所以p(x)在上存在唯一零点,记为.又由(1)知,当x时,p(x)<0,所以p(x)在上无零点.故f '(x)在0,上存在唯一零点,当x(0,)时,f '(x)<0;当x(,)时,f '(x)>0.所以当x0,时,f(x)有唯一极值点,为极小值点.4.解析(1)f '(x)=2ex+(2x-4)ex+2a(x+2)=(2x-2)ex+2a(x+2),依题意,当x>0时,函数f '(x)0恒成立,即a-恒成立,记g(x)=-,则g'(x)=-=-<0,所以g(x)在(0,+)上单调递减,所以g(x)<g(0)=,所以a.(2)因为f '(x)'=2xex+2a>0,所以y=f '(x)是(0,+)上的增函数,又f '(0)=4a-2<0,f '(1)=6a>0,所以存在t(0,1)使得f '(t)=0,又当x(0,t)时,f '(x)<0,当x(t,+)时,f '(x)>0,所以当x=t时,f(x)min=f(t)=(2t-4)et+a(t+2)2,且由f '(t)=0a=-,则f(x)min=f(t)=(2t-4)et-(t-1)(t+2)et=et(-t2+t-2),t(0,1).记h(t)=et(-t2+t-2),则h'(t)=et(-t2+t-2)+et(-2t+1)=et(-t2-t-1)<0,所以h(1)<h(t)<h(0),即f(x)的最小值的取值范围是(-2e,-2).