(浙江版)2018年高中数学第一章导数及其应用1.2第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式学案新人教a版选修2-2

第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P1214，思考并完成下列问题(1)函数yc，yx，yx1，yx2，y的导数分别是什么？能否得出yxn的导数公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？1几种常用函数的导数函数导数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)点睛对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1原函数导函数f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a>0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a>0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)若y，则y×21.()(2)若f(x)sin x，则f(x)cos x()(3)f(x)，则f(x).()答案：(1)×(2)×(3)2下列结论不正确的是()A若y0，则y0B若y5x，则y5C若yx1，则yx2 D若yx，则yx答案：D3若ycos，则y()A BC0 D.答案：C4函数y在点处切线的倾斜角为()A. B.C. D.答案：B利用导数公式求函数导数典例求下列函数的导数(1)yx12；(2)y；(3)y；(4)y3x；(5)ylog5x.解(1)y(x12)12x11.(2)y(x4)4x5.(3)y()(x)x.(4)y(3x)3xln 3.(5)y(log5x).求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式活学活用求下列函数的导数：(1)ylg x；(2)yx；(3)yx；(4)ylogx.解：(1)y(lg x).(2)yxln xln 2.(3)y(x)(x)x.(4)y.利用导数公式求切线方程典例 已知曲线y.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程解y，y.(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y在点P(1,1)的导数，即kf(1)1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y1(x1)，即为yx2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y上，则可设过该点的切线的切点为A，那么该切线斜率为kf(a).则切线方程为y(xa)将Q(1,0)代入方程：0(1a)将得a，代入方程整理可得切线方程为y4x4.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解活学活用当常数k为何值时，直线yx与曲线yx2k相切？请求出切点解：设切点为A(x0，xk)y2x，故当k时，直线yx与曲线yx2k相切，且切点坐标为.导数的简单综合应用典例(1)质点的运动方程是Ssin t，则质点在t时的速度为_；质点运动的加速度为_(2)已知两条曲线ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由解析(1)v(t)S(t)cos t，vcos .即质点在t时的速度为.v(t)cos t，加速度a(t)v(t)(cos t)sin t.答案： sin t(2)解：由于ysin x，ycos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1cos x0，k2sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(sin x0)1，即sin x0·cos x01，也就是sin 2x02，这是不可能的两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直导数的综合应用的解题技巧(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题可以结合导数的几何意义分析 活学活用曲线yx在点(1,1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为()A.B.C.D.解析：选C可求得yx，即y|x1，切线方程为2x3y10，与x轴的交点坐标为，与x2的交点坐标为，围成三角形面积为××.层级一学业水平达标1已知函数f(x)x3的切线的斜率等于3，则切线有()A1条B2条C3条 D不确定解析：选Bf(x)3x23，解得x±1.切点有两个，即可得切线有2条2若f(x)sin cos x(是常数)，则f()()Asin Bcos Csin Dcos 解析：选Af(x)(sin cos x)sincosxsin x，f()sin .3已知f(x)3x，则f(2)()A10 B5xC5 D10解析：选Df(x)5x，f(2)5×2×10，故选D.4已知f(x)x，若f(1)2，则的值等于()A2 B2C3 D3解析：选A 若2，则f(x)x2，f(x)2x，f(1)2×(1)2适合条件故应选A.5. 曲线yx3在x1处切线的倾斜角为()A1 BC. D.解析：选Cyx2，y|x11，切线的倾斜角满足tan 1，0<，.6曲线yln x在点M(e,1)处的切线的斜率是_，切线方程为_解析：y(ln x)，y|xe.切线方程为y1(xe)，即xey0.答案：xey07已知f(x)a2(a为常数)，g(x)ln x，若2xf(x)1g(x)1，则x_.解析：因为f(x)0，g(x)，所以2xf(x)1g(x)2x1.解得x1或x，因为x0，所以x1.答案：18设坐标平面上的抛物线C：yx2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为_解析：显然点(a，a2)为抛物线C：yx2上的点，y2x，直线l的方程为ya22a(xa)令x0，得ya2，直线l与y轴的交点的坐标为(0，a2)答案：(0，a2)9求下列函数的导数：(1)yx8；(2)y4x；(3)ylog3x；(4)ysin；(5)ye2.解：(1)y(x8)8x818x7.(2)y(4x)4xln 4.(3)y(log3x).(4)y(cos x)sin x.(5)y(e2)0.10已知P(1,1)，Q(2,4)是曲线yx2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线yx2的切线方程(2)求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解：(1)因为y2x，P(1,1)，Q(2,4)都是曲线yx2上的点过P点的切线的斜率k1y|x12，过Q点的切线的斜率k2y|x24，过P点的切线方程：y12(x1)，即2xy10.过Q点的切线方程：y44(x2)，即4xy40.(2)因为y2x，直线PQ的斜率k1，切线的斜率ky|xx02x01，所以x0，所以切点M，与PQ平行的切线方程为：yx，即4x4y10.层级二应试能力达标1质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s，则质点在t4时的速度为()A.B.C. D.解析：选Bst.当t4时，s· .2直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()A2 Bln 21Cln 21 Dln 2解析：选Cyln x的导数y，令，得x2，切点为(2，ln 2)代入直线yxb，得bln 21.3在曲线f(x)上切线的倾斜角为的点的坐标为()A(1,1) B(1，1)C(1,1) D(1,1)或(1，1)解析：选D因为f(x)，所以f(x)，因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为1，即f(x)1，所以x±1，则当x1时，f(1)1；当x1时，f(1)1，则点坐标为(1,1)或(1，1)4设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2··xn的值为()A. B.C. D1解析：选B对yxn1(nN*)求导得y(n1)xn. 令x1，得在点(1,1)处的切线的斜率kn1，在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(xn1)令y0，得xn，x1·x2··xn×××××， 故选B.5与直线2xy40平行且与曲线yln x相切的直线方程是_解析：直线2xy40的斜率为k2，又y(ln x)，2，解得x.切点的坐标为.故切线方程为yln 22.即2xy