数学分析选讲刘三阳 1到13章习题解答

习题 1-1（导数定义求极限）习题 1-1（导数定义求极限） 1计算下列极限 （1） 1 lim (1)1 p n n n +，(0)p（2） sinsin lim sin() xa xa xa （3） 1 1 lim, 1 m n x x m n x 为自然数（4）lim(21)n n n a ，(0)a. （5）lim xa xa ax xa ，(0)a.（6）lim xa ax xa xa aa ax (0)a （7） 1010 0 (1tan )(1 sin ) lim sin x xx x + .（8） 1 1 () lim m k m n i ni n n = + ，m为自然数. 解解 （1）原式 1 1 1 (1)1 lim() | pp p x n n n x = + = 1 1 p x pxp = =. （2） 原式= sinsin lim sin() xa xaxa xaxa cosa=. (3) 原式= 1 11 lim 11 m n x xx xx = n m . （4） 原式 1 ln(21)ln1 2 (1) limlim n n nana nn ee + = 1 2(1) lim n na n e = 2ln2a ee=. （5）原式 lim xaaa xa aaxa xaxa = =() |() | xa x ax a ax = = 1 ln aa aaa a =(ln1) a aa. （6） 原式 0 () lim axa xax xa xa aaa ax = =ln a a aa. （7）原式 1010 00 (1tan )1(1 sin )1 limlim tansin xx xx xx + = = 99 00 10(1) |10(1) |20 tt tt = +=. （8）原式 1 1 () lim mm k m n i nin n = + = 1 (1)1 lim m k n i i n i i n = + = 1 k i i m = = (1) 2 k k m + =. 2设( )f x在 0 x处二阶可导，计算 000 2 0 ()2 ()() lim h f xhf xf xh h + . 3设 0 ()fx存在，计算 0 00 0 ()( ) lim xx xf xx f x xx . 解解 原式 0 000000 0 ()()()( ) lim xx xf xx f xx f xx f x xx + = 00 000000 00 ()()( )() limlim xxxx xf xx f xx f xx f x xxxx = 0 0 00 0 ( )() ()lim xx f xf x f xx xx = 000 ()()f xxfx=. 4设0a，( )0f a，( )fa存在，计算 1 lnln ( ) lim ( ) xa xa f x f a 。 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 解解 原式 ln( ) ln( ) lnln lim f xf a xa xa e = ln( ) ln( ) lnln lim f xf ax a x axa xa e = ln( )(ln ) t at a f tt e = = ( )( )a faf a e =. 练习 1-2（中值定理求极限） 1. 练习 1-2（中值定理求极限） 1.求下列极限 （1）lim(sin1sin1) x xx + + （2） 4 0 cos(sin )cos lim sin x xx x （3） 33 2 0 lim tansin xx x ee xx （4） 22 22 lim xa xa ax xa (0)a （5） 2 lim(arctanarctan) 1 n aa n nn + + （6） 3 1 1 (1)(1)(1) lim (1) n n x xxx x （7） 666565 lim() x xxxx + +（8） 21 (1) lim ln(1) nn n nn n n + + + 解解(1)原式= 1 limcos20 2 x + =，(11xx ，计算 1 1 () lim () n n n n f a f a + . 习题习题 1-31-31-31-3（用等价无穷小代换求极限）（用等价无穷小代换求极限） 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 习题习题 1-41-41-41-4（用泰勒公式求极限）（用泰勒公式求极限） 1求 21 lim (1)x x x e x + +. 解解 原式 2 1 ln(1) lim xx x x e + + = 2 22 1 111 ()() 2 lim xox x xx x e + + = 1 2 e = 或令 1 ,t x =再取对数. 2求 3 3 6 0 11 lim sin2 x x ex x = 3 设( )f x在0x=处 可 导 ， 且 2 0 sin( ) lim()2. x xf x xx +=求(0),(0)ff和 0 1( ) lim x f x x + . 解解因为 22 00 sin( )sin( ) 2lim()lim xx xf xxxf x xxx + =+= 2 2 0 ()(0)(0)( ) lim x xo xx ffxo x x + = 22 2 0 (1(0)(0)() lim x fxfxo x x + = 所以1(0)0,(0)2ff+=,即(0)1,(0)2ff= = 所以 0 1( ) lim x f x x + 0 1(0)(0)( ) lim x ffxo x x + = 0 2( ) lim2 x xo x x + =. 4求 0 1 1 1 2 lim ln(1)4 x x x x xxe + = + . 解解因为 2 2 11() 28 xx xo x+= + 分母 22 22 ()(1( )() 22 xx xo xxxo xo x=+=+， 所以 原式 2 2 2 0 2 () 1 8 lim 4 () 2 x x o x x o x + = + . 5求 (1) lim ln n n nn n . 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 解解原式 1ln 1ln() 1 lim1 ln n n nno nn n + =.(也可利用导数定义) 6设( )f x在0x=处可导，(0)0f，(0)0f.若( )(2 )(0)af hbfhf+在 0h时是比h高阶的无穷小，试确定,a b的值.(2,1)ab= 7求 2 1 lim(1sin) n nn n . 解解 原式 2 33 11 11 lim1() 3! n nno nnn =+ 11 lim(1) 3!6 n o =+=. 8求 222 1 lim (1) n n n ee n += 9求 11 lim (1)1 2 n n n e n += 解解 原式 1 ln(1) lim 1 n n n n e e + = 22 111 1() 2 lim 1 no n nn n n e + = 11 () 2 lim 1 o nn n n e = 11 lim ( ) 2 n no nn = 11 lim(1) 22 n o =. 10 设 0 ()fx存在， 求极限 0000 3 0 1 lim (3 )3 (2 )3 ()() h f xhf xhf xhf x h +. 习题 1-5（Stolz 定理求极限） 1. 习题 1-5（Stolz 定理求极限） 1. 计算下列极限 (1) 11 1 2 lim n n n + ;(2) 12 lim n n n n + ; (3) 2 2 12 lim(1) n n n aana a na + + + ;(4) 1 1 lim n k k n k k n + = . 解解 (1)原式 1 1 lim 1 n n nn + = + 1 lim2 1 n nn n + + = + ; (2)(2) 原式 1 lim (1)1 n n nnn n + = + 33 1 (1)1 lim (1) n nnnn n nn + + = + 2 2 (1)(1)2 lim 3313 n nn n n nn + = + ;(3) 1 (1)a a ;(4)1 22 设lim n n aa =，求 12 2 2 (1) lim n n aana n + ； (2) 1 1 lim n k n k a nk + = ;(3) 1 1 lim ln n k n k a nk + = ; 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m （4） 12 lim 111 n n n aaa + ，0,1,2, i ain=。(; 2 a 2 ;a;aa)。 33设 2 lim()0 nn n xx =，求lim n n x n 和 1 lim nn n xx n . 解解 原式lim n n x n = 224311 1 2 1 2 ()()() lim0 nnnn n n n xxxxxxx n + = ,或 2222222 2121212121 limlimlim0, 22(22)2 limlimlim0, 2121 (21)2 nnnnn nnx nnnnn nnx aaaaa nnn aaaaa nnn + + + = = + 121324 ()() nnnnnnnn xxxxxxxx =+ 所以 111331 2 2 nnnnnn xxxxxxxxn nnn + 所以 1 lim0 nn n xx =，由 Stolz 定理，右边的极限为 0. 4 4 4 4设 1 1 0x q ，存在N，当nN时有， 1 1 nn nn aa l bb + + ，所以有 111 ()()(1)() nnnnnn lbbaabb + ，并令上式中的n依次换为1,1nm+，然后将所有的 不等式相加，得到 ()()(1)() nmnmnm lbbaabb时有， n n a l b . 习题习题 1-61-61-61-6（广义罗必达法则及其应用）（广义罗必达法则及其应用） 1. 设( )f x在(