数学分析选讲刘三阳 1到13章习题解答
48页1、习题 1-1(导数定义求极限)习题 1-1(导数定义求极限) 1计算下列极限 (1) 1 lim (1)1 p n n n +,(0)p(2) sinsin lim sin() xa xa xa (3) 1 1 lim, 1 m n x x m n x 为自然数(4)lim(21)n n n a ,(0)a. (5)lim xa xa ax xa ,(0)a.(6)lim xa ax xa xa aa ax (0)a (7) 1010 0 (1tan )(1 sin ) lim sin x xx x + .(8) 1 1 () lim m k m n i ni n n = + ,m为自然数. 解解 (1)原式 1 1 1 (1)1 lim() | pp p x n n n x = + = 1 1 p x pxp = =. (2) 原式= sinsin lim sin() xa xaxa xaxa cosa=. (3) 原式= 1 11 lim 11 m n x xx xx = n m . (4) 原式 1 ln(21)ln1 2 (1) limlim n n nana nn ee +
2、= 1 2(1) lim n na n e = 2ln2a ee=. (5)原式 lim xaaa xa aaxa xaxa = =() |() | xa x ax a ax = = 1 ln aa aaa a =(ln1) a aa. (6) 原式 0 () lim axa xax xa xa aaa ax = =ln a a aa. (7)原式 1010 00 (1tan )1(1 sin )1 limlim tansin xx xx xx + = = 99 00 10(1) |10(1) |20 tt tt = +=. (8)原式 1 1 () lim mm k m n i nin n = + = 1 (1)1 lim m k n i i n i i n = + = 1 k i i m = = (1) 2 k k m + =. 2设( )f x在 0 x处二阶可导,计算 000 2 0 ()2 ()() lim h f xhf xf xh h + . 3设 0 ()fx存在,计算 0 00 0 ()( ) lim xx xf xx f x xx . 解解 原式 0 000000
3、0 ()()()( ) lim xx xf xx f xx f xx f x xx + = 00 000000 00 ()()( )() limlim xxxx xf xx f xx f xx f x xxxx = 0 0 00 0 ( )() ()lim xx f xf x f xx xx = 000 ()()f xxfx=. 4设0a,( )0f a,( )fa存在,计算 1 lnln ( ) lim ( ) xa xa f x f a 。 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 解解 原式 ln( ) ln( ) lnln lim f xf a xa xa e = ln( ) ln( ) lnln lim f xf ax a x axa xa e = ln( )(ln ) t at a f tt e = = ( )( )a faf a e =. 练习 1-2(中值定理求极限) 1. 练习 1-2(中值定理求极限) 1.求下列极限 (1)lim(sin1sin1) x xx + + (2) 4 0 cos(sin )cos lim sin x xx x (3)
4、33 2 0 lim tansin xx x ee xx (4) 22 22 lim xa xa ax xa (0)a (5) 2 lim(arctanarctan) 1 n aa n nn + + (6) 3 1 1 (1)(1)(1) lim (1) n n x xxx x (7) 666565 lim() x xxxx + +(8) 21 (1) lim ln(1) nn n nn n n + + + 解解(1)原式= 1 limcos20 2 x + =,(11xx ,计算 1 1 () lim () n n n n f a f a + . 习题习题 1-31-31-31-3(用等价无穷小代换求极限)(用等价无穷小代换求极限) 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 习题习题 1-41-41-41-4(用泰勒公式求极限)(用泰勒公式求极限) 1求 21 lim (1)x x x e x + +. 解解 原式 2 1 ln(1) lim xx x x e + + = 2 22 1 111 ()() 2 lim xox x xx x e + + = 1 2 e
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