2018高中数学 精讲优练课型 第二章 基本初等函数（i）2.1.2 指数函数及其性质 第2课时 习题课——指数函数及其性质课件 新人教版必修1

第2课时 习题课指数函数及其性质的应用,【题型探究】 类型一 指数函数单调性的应用 角度1:比较两数的大小 【典例】(2015·衡水高一检测)比较下列各组值的大小: (3)0.50.6,0.60.5.,【解题探究】典例中第(2)题的两数同指不同底，应如何进行比较？ 提示：可结合函数 在同一坐标系内的图象的特点来进行比较.,【解析】(1)由于0 1，故函数y= 在实数范围内单调递减，又因为-1.7-2， 故 (2)在同一坐标系内画出函数 的图象，通过观察图象可知， 当x0时，y= 的图象在y= 的图象的上方，当x=-0.5时， 可得,(3)由于00.50.61,所以函数y=0.5x与y=0.6x在定义域R上均是减函数,且在区间(0,+)上函数y=0.5x的图象在函数y=0.6x的图象的下方,所以0.50.60.60.6,又根据指数函数y=0.6x的性质可知0.60.60.60.5,故0.50.60.60.5.,角度2:解简单的指数不等式 【典例】求解下列不等式: (1)已知3x ,求实数x的取值范围. (2)若a-5xax+7(a0且a1),求x的取值范围.,【解题探究】(1)中将 怎样变形,化为与3x同底? 提示:将 变形为30.5. (2)中需要对a进行分类讨论吗?怎样分类? 提示:需要,可分为01两种情况.,【解析】(1)因为 =30.5,所以由3x 可得:3x30.5,因为 y=3x为增函数,故x0.5. (2)当0ax+7可得-5x- . 当a1时,函数y=ax是增函数,则由a-5xax+7可得-5xx+7,解得 x- ;当a1时,x- .,角度3:指数型函数的单调性 【典例】求函数y= 的定义域、值域、单调区间. 【解题探究】本例中函数可由哪两个函数复合而成? 提示:可由u=x2-6x+17,y= 复合而成.,【解析】设u=x2-6x+17,则y= ,由于它们的定义域都是R, 所以函数y= 的定义域为R. 因为u=x2-6x+17=(x-3)2+88,所以 又 0,函数y= 的值域为,函数u=x2-6x+17在3,+)上是单调增函数,而y= 在R上是单调 减函数,所以设3x1y2, 所以函数y= 在3,+)上是单调减函数, 同理:函数y= 在(-,3)上是单调增函数,函数y= 的单调减区间是3,+),单调增区间是(-,3).,【方法技巧】 1.比较幂值大小的三种类型及处理方法,2.解指数不等式的类型及应注意的问题 (1)形如axab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,要对a分为01两种情况分类讨论. (2)形如axb的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解. 3.函数y=af(x)(a0,a1)的单调性的处理技巧 当a1时,y=af(x)与y=f(x)的单调性相同, 当0a1时,y=af(x)与y=f(x)的单调性相反.,【拓展延伸】比较两数大小的常用方法 (1)作差法:将两数相减,判断差的符号. (2)作商法:当两数同号时,将两数相除,得到的商与1比较. (3)利用函数的单调性:构造出基本函数模型,利用其单调性比较.,【变式训练】1.比较下列各组值的大小 (1)0.6-0.6,0.6-0.7.(2)6-0.9,70.9. 【解析】(1)由于0.6-0.7, 故0.6-0.670=1,故6-0.970.9.,2.(2015·太原高一检测)已知0.2x-3.,3.求函数y= 的单调区间，并证明. 【解析】单调增区间是(-,1,单调减区间是(1，+),证明如下： 设u=x2-2x 则y= ，对任意的1x1x2，有u1u2， 又因为y= 是单调减函数,所以 ,即y1y2, 所以y= 在(1，)上是单调减函数, 对任意的x3x41，有u3u4， 又因为y= 是单调减函数,所以 即y3y4,所以y= 在(-,1上是单调增函数.,类型二 指数函数的实际应用 【典例】1.(2015·大理高一检测)2000年我国人均收入765美元,到2020年人民生活达到小康以上的水平,人均收入争取达到2451美元,则年平均增长率为 (精确到0.01). 2.某林区2014年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并写出此函数的定义域.,【解题探究】1.典例1中如果设年平均增长率为x,则随着年数n的变化两者有什么关系? 提示:设年平均增长率为x,从2000年开始,n年后的收入为y,则有y=765×(1+x)n. 2.典例2中写出y=f(x)的表达式后,自变量x的具体含义是什么? 提示:x是指经过的年数,故应为正整数.,【解析】1.设年平均增长率为x,年数为n,由题意,得y=765×(1+x)n,因为到2020年人均收入为2451美元,即n=2020-2000=20时,y=2451,所以2451=765×(1+x)20,所以x0.06. 答案:0.06,2.现有木材的蓄积量为200万立方米,经过1年后木材的蓄积量为200+200×5%=200(1+5%); 经过2年后木材的蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200×(1+5%)2万立方米; 经过x年后木材的蓄积量为200×(1+5%)x万立方米. 故y=f(x)=200×(1+5%)x,xN*.,【延伸探究】典例1中若以不低于此增长率的速度递增,则到2040年人均收入至少为多少美元(精确到1美元)? 【解析】由典例1可知年平均增长率为0.06,到2040年, 即n=2040-2000=40,此时y=765×(1+0.06)407869. 答:若以不低于此增长率的速度递增,则到2040年人均收入至少为7869美元.,【方法技巧】解决指数函数应用题的流程 (1)审题:理解题意,弄清楚关键字词和字母的意义,从题意中提取信息. (2)建模:据已知条件,列出指数函数的关系式. (3)解模:运用数学知识解决问题. (4)回归:还原为实际问题,归纳得出结论.,【变式训练】某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为b,2014年该市生活垃圾量为a吨,由此可以预测2024年生活垃圾量为 ( ) A.a(1+10b)吨 B.a(1+9b)吨 C.a(1+b)10吨 D.a(1+b)9吨 【解析】选C.2014年该市生活垃圾量为a吨, 所以2015年生活垃圾量是a(1+b)吨, 2016年生活垃圾量是a(1+b)(1+b)=a(1+b)2吨, 由此可以预测2024年生活垃圾量为a(1+b)10吨.,【补偿训练】已知镭经过1百年后的质量为原来的95.76%,设质量为20克的镭经过x百年后的质量为y克(其中xN*),求y与x之间的函数关系式,并求出20克的镭经过1000年后的质量(精确到0.001克).,【解析】把1百年看成一个基数,然后看每经过1百年镭的质量的变化. 因为镭原来的质量为20克; 1百年后镭的质量为20×95.76%克; 2百年后镭的质量为20×(95.76%)2克; 3百年后镭的质量为20×(95.76%)3克; ,x百年后镭的质量为20×(95.76%)x克; 所以y与x的函数关系式为y=20×(95.76%)x(xN*). 所以经过1000年后镭的质量为y=20×(95.76%)1012.968(克). 答:y与x之间的函数关系式为y=20×(95.76%)x(xN*),经过1000年后镭的质量约为12.968克.,类型三 指数函数性质的综合应用 【典例】1.若f(x)= -a是定义在R上的奇函数,则a= . 2.(2015·抚顺高一检测)已知函数f(x)=2x+2ax+b,且f(1)= f(2)= (1)求a,b的值. (2)判断函数的奇偶性并证明. (3)已知函数在(-,0上是单调递减的,试求函数在0,+)上的值域.,【解题探究】1.典例1中由于函数是定义在R上的奇函数,可得到f(0)的值为多少? 提示:f(0)=0. 2.怎样判断一个函数的奇偶性? 提示:可以利用函数奇偶性的定义来进行判断.,【解析】1.由于函数f(x)= -a是定义在R上的奇函数，所以f(0)= -a=0，所以a= . 答案：,(2)f(x)是偶函数.证明如下:由(1)可知f(x)=2x+2-x,因为f(-x)= 2x+2-x=f(x),根据偶函数的定义可得该函数为偶函数. (3)由于函数为偶函数且在(-,0上是单调递减的,故函数在0,+)上单调递增,当x=0时函数取得最小值,即f(x)min=f(0)=2,故函数在0,+)上的值域为2,+).,【方法技巧】 1.判定函数奇偶性要注意的问题 (1)坚持“定义域优先”的原则: 如果定义域不关于原点对称,可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数.,(2)正确利用变形技巧: 耐心分析f(x)和f(-x)的关系,必要时可利用f(x)±f(-x)=0是否成立判定. (3)巧用图象的特征: 在解答有图象信息的填空题时,可根据奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,进行快速判定.,2.整体思想的应用 在复杂的函数解析式、方程、不等式中,常出现ax的形式,此时,利用整体思想,可以把复杂的问题化归为简单的一次、二次函数、方程、不等式的问题.但要注意两点: (1)函数中,注意应用指数函数的单调性求出ax的取值范围,即新函数的定义域. (2)方程、不等式中,注意ax恒大于0,要检验所求根是否是增根.,【变式训练】1.已知函数f(x)= +m是奇函数,则常数m= . 【解析】由题意知函数f(x)= +m的定义域为(-,0) (0,+),又由于该函数为奇函数,所以f(-1)=-f(1),解得m= . 答案:,2.已知函数f(x)= (1)用定义证明f(x)在R上单调递增. (2)若f(x)是R上的奇函数,求m的值. 【解题指南】(1)在R上任取两个实数x1,x2,且x1x2,然后用作差法比较f(x1)和f(x2)的大小,再根据单调性定义判断单调性. (2)根据f(-x)=-f(x),列出方程,解出m.,【解析】(1)设x1x2且x1,x2R, 则f(x1)-f(x2)= 因为x1x2,所以 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 所以f(x)在R上单调递增.,(2)因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(x)+f(-x)= 所以m=1.,【补偿训练】已知函数f(x)= (a0,a1,a为常数,xR). (1)若f(m)=6，求f(-m)的值. (2)若f(1)=3，求f(2)及 的值.,【解析】(1)因为f(-x)= =f(x),xR, 所以f(x)为偶函数，所以f(-m)=f(m)=6. (2)因为f(1)=3,所以a+ =6, 所以(a+ )2=a2+2+ =36, 所以a2+ =34, 所以f(2)=17, 因为( )2=a+2+ =8,规范解答 指数函数性质的综合应用 【典例】(12分)(2015·无锡高一检测)已知函数f(x)= 为奇函数,nR. (1)求n的值. (2)利用定义判断并证明函数f(x)的单调性,并求出f(x)在-2,2的最小值.,【审题指导】(1)要求n的值,由于函数f(x)= 为奇函数且定义域为R,利用f(0)=0建立等式,求得n的值. (2)对于函数f(x)的单调性,可任取x1,x2R且x1x2,作差f(x1)-f(x2)并判断出符号,从而得出单调性,进而可利用单调性求f(x)在-2,2的最小值.,【规范解答】(1)由于函数f(x)= 为奇函数且定义域为R, 所以f(0)=0,即