2018年高考数学二轮复习第二部分专题二函数与导数2.4.1压轴大题1函数导数方程不等式课件理

2.4 压轴大题1函数、导数、 方程、不等式,-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,1.导数的几何意义 (1)函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,即k=f'(x0). (2)函数切线问题的求解策略:用好切点“三重性”: 切点在函数图象上,满足函数解析式; 切点在切线上,满足切线方程; 切点处的导数等于切线的斜率. 2.函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在(a,b)内可导, (1)若f'(x)0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增; (2)若f'(x)0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递减.,-7-,3.函数的导数与单调性的等价关系 函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)0f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)0f(x)在(a,b)上为减函数. 4.函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. (3)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 5.常见恒成立不等式 (1)ln xx-1;(2)exx+1.,-8-,6.构造辅助函数的四种方法 (1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x); (2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数; (3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x); (4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.,-9-,7.函数不等式的类型与解法 xD,f(x)kf(x)maxk; xD,f(x)kf(x)mink; xD,f(x)g(x)f(x)maxg(x)min; xD,f(x)g(x)f(x)ming(x)max. 8.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略 (1)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值. (2)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值. (3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值. (4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值.,-10-,(5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与g(x)在c,d上的值域交集非空. (6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域. (7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.,2.4.1 导数与函数的单调性、 极值、最值,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,讨论、判断、证明单调性或求单调区间 解题策略一 分类讨论法,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)f(x)的定义域为(0,+).,当a0时,x(0,1)时,f'(x)0,f(x)单调递增,x(1,+)时,f'(x)0时,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,综上所述,当a0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减;,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,在(1,+)内单调递增.,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)由(1)知,a=1时,设(x)=-3x2-2x+6,则(x)在x1,2单调递减, 因为(1)=1,(2)=-10, 所以x0(1,2),使得x(1,x0)时,(x)0,x(x0,2)时,(x)0. 所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练1已知函数f(x)=ln x-mx(mR). (1)若m=1,求曲线y=f(x)在点P(1,-1)处的切线方程; (2)讨论函数f(x)在(1,e)上的单调性.,所以切线的斜率为0,所以切线方程为y=-1.,令h(x)=-mx+1,h(x)是过点(0,1)的一次函数, 当m0时,在(1,e)上h(x)0,f'(x)0,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增. 当m0时,h(x)在(1,e)上是减函数,由h(x)的图象可知,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增;,()当0 1,即m1时,x(1,e),h(x)0,f'(x)0,函数f(x)在(1,e)上单调递减.,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题策略二 构造函数法 例2已知函数f(x)= (k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行. (1)求k的值; (2)求f(x)的单调区间.,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,即h(x)在(0,+)上是减函数. 由h(1)=0知,当00,从而f'(x)0; 当x1时,h(x)0,从而f'(x)0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+).,解题心得通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负,因此,构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估.,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练2设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.,解 (1)因为f(x)=xea-x+bx, 所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.,解得a=2,b=e.,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f'(x)与1-x+ex-1同号. 令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1. 所以,当x(-,1)时,g'(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值, 从而g(x)0,x(-,+). 综上可知,f'(x)0,x(-,+). 故f(x)的单调递增区间为(-,+).,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,求函数的极值、最值 解题策略一 利用单调性求 例3(2017湖南邵阳一模,理21)已知函数f(x)=x-axln x(a0),g(x)= -1. (1)求函数f(x)的单调区间. (2)当a=-1时,求函数f(x)在e-e,e上的值域;,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,难点突破 (1)求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可. (2)将a=-1代入f(x),求出函数的导数,根据函数的单调性求出函数的值域即可;,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)f'(x)=1-aln x-a=1-a(ln x+1). 当a=0时,f'(x)0,f(x)在(0,+)单调递增;,(2)a=-1时,f(x)=x+xln x.由f'(x)=2+ln x, 令f'(x)=0,x=e-2, f(x)在e-e,e-2单调递减,在e-2,e单调递增,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得1.求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值; 2.对kf(x)恒成立,求参数k的最值问题,若求不出f(x)的极值点,可求极值点所在区间,再由极值点范围求极值的范围,由此得出参数的最值.,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练3(2017北京,理19)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;,解 (1)因为f(x)=excos x-x, 所以f'(x)=ex(cos x-sin x)-1,f'(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h'(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.,-30-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题策略二 构造函数法 例4已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)ex-1-f(0)x+ x2. (1)求f(x)的解析式及单调区间; (2)若f(x) x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.,=ex-(a+1)x-b0h'(x)=ex-(a+1)h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b0(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)(a+10),令F(x)=x2-x2ln x(x0),-31-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)由已知得f'(x)=f'(1)ex-1-f(0)+x. 所以f'(1)=f'(1)-f(0)+1,即f(0)=1. 又f(0)=f'(1)e-1,所以f'(1)=e.,由于f'(x)=ex-1+x, 故当x(-,0)时,f'(x)0. 从而,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.,-32-,考向一,考向二,考向三,考向四,(2)由已知条件得ex-(a+1)xb.,可得ex-(a+1)x0,设g(x)=ex-(a+1)x, 则g'(x)=ex-(a+1). 当x(-,ln(a+1)时,g'(x)0. 从而g(x)在(-,ln(a+1)单调递减,在(ln(a+1),+)单调递增. 故g(x)有最小值g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1).,ba+1-(a+1)ln(a+1).,-33-,考向一,考向二,考向三,考向四,因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1). 设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1), 则h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1).,-34-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得本例在(2)中,通过作差将条件进行转化,通过构造函数求函数的最小值得出关于a,b的不等式,通过乘以(a+1)得(a+1)b的关系式,再通过第二次构造函数求函数最大值得出结果.,-35-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练4(2017河北邯郸二模,理21)已知函数f(x)=ax-ln x,F(x)=ex+ax,其中x0,a0. (1)若f(x)和F(x)在区间(0,ln 3)上具有相同的单调性,求实数a的取值范围;,-36-,考向一,考向二,考向三,考向四,a0,即F(x)在(0,+)上单调