2018年高考数学二轮复习第二部分专题七解析几何7.3.3圆锥曲线中的定点定值与存在性问题课件理

7.3.3 圆锥曲线中的定点、 定值与存在性问题,-2-,圆锥曲线中的定点问题(多维探究) 解题策略一 直接法,(1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.,-3-,难点突破 (1)求椭圆方程需要两个条件,由椭圆的对称性知 在椭圆上,这只能算一个条件,将P1(1,1)代入椭圆方程与P3代入椭圆方程的比较中P1(1,1)不在椭圆上,知两点易求椭圆方程. (2)证明直线l过定点可根据条件直接用参数表示出直线方程,得到形如f(x,y)+g(x,y)=0的形式,且方程对参数的任意值都成立,解方 程组 得定点.,-4-,解 (1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.,(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2, 如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|2,-5-,从而可设l:y=kx+m(m1).,所以l过定点(2,-1).,-6-,解题心得证明直线和曲线过定点,如果定点坐标没有给出,一般可直接求直线和曲线的方程,然后根据方程的形式确定其过哪个定点;如果得到的方程形如f(x,y)+g(x,y)=0,且方程对参数的任意值都 成立,则令 解方程组得定点.,-7-,(1)求椭圆C的方程; (2)若过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2(0r1)的两条切线分别与椭圆C相交于点B,D(不同于点A).当r变化时,试问直线BD是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.,-8-,即(1-r2)k2-2k+1-r2=0, 设两切线AB,AD的斜率为k1,k2(k1k2), 则k1,k2是上述方程的两根, 所以k1·k2=1. 不妨设B(x1,y1),D(x2,y2).,-9-,-10-,解题策略二 逆推法,(1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且 =1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,-11-,又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,-12-,解题心得证明直线或曲线过某一确定的定点(定点坐标已知),可把要证明的结论当条件,逆推上去,若得到使已知条件成立的结论,即证明了直线或曲线过定点.,-13-,(1)求椭圆C的标准方程; (2)已知点A,B为动直线y=k(x-2)(k0)与椭圆C的两个交点,证明:在x轴上是否存在定点E,使 为定值,并求出定值.,又以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2,-14-,要使上式为定值,即与k无关,则应3m2-12m+10=3(m2-6),-15-,圆锥曲线中的定值问题 解题策略 直接法 例3(2017全国,文20)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 难点突破 (1)先假设能出现ACBC,再验证直线AC,BC的斜率之积是否为-1,从而得结论; (2)设A(x1,0),B(x2,0),点C的坐标已知,由A,B,C三点AB,BC的中垂线方程圆心坐标及圆半径圆在y轴上的弦长.,-16-,解 (1)不能出现ACBC的情况,理由如下: 设A(x1,0),B(x2,0), 则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2. 又C的坐标为(0,1),所以不能出现ACBC的情况.,-17-,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,-18-,解题心得证某一量为定值,一般方法是用一参数表示出这个量,通过化简消去参数,得出定值,从而得证.,-19-,对点训练3已知椭圆C: (ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l交椭圆于A,B两点,ABF1的周长为8,且AF1F2的面积最大时,AF1F2为正三角形. (1)求椭圆C的方程; (2)若MN是椭圆C经过原点的弦,MNAB,求证: 为定值.,解 (1)由已知A,B在椭圆上,可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 又ABF1的周长为8,所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8,即a=2, 由椭圆的对称性可得,AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点,则a=2c,即c=1,b2=a2-c2=3,则椭圆C的方程为 =1.,-20-,(2)证明:若直线l的斜率不存在,即l:x=1,若直线l的斜率存在,设直线l:y=k(x-1), 设A(x1,y1),B(x2,y2),-21-,圆锥曲线中的存在性问题 解题策略 肯定顺推法 例4(2017黑龙江大庆三模,理20)已知中心在原点O,焦点在x轴上,(1)求椭圆的方程; (2)椭圆左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,则F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.,-22-,难点突破 (1)设椭圆方程,由题意列关于a,b,c的方程组求解a,b,c的值,则椭圆方程可求; (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y10,y20,设F1AB的内切圆的半径,立,从而可表示F1AB的面积,利用换元法,借助于导数,即可求得结论.,-23-,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y10,y20,设F1AB的内切圆的半径为R,-24-,-25-,解题心得存在性问题通常用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.,-26-,(1)求椭圆E的方程; (2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点,是否存在常数,使得 为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.,-27-,解 (1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b).,-28-,-29-,解析几何化简中的换元法 解题策略 换元法,(1)求椭圆C1与抛物线C2的标准方程; (2)过(1,0)的两条相互垂直直线与抛物线C2有四个交点,求这四个点围成四边形的面积的最小值.,-30-,p=4, 抛物线C2的标准方程为y2=8x.,(2)由题意易得两条直线的斜率存在且不为0,设其中一条直线l1的斜率为k,直线l1方程为y=k(x-1),则另一条直线l2的方程为,同理设直线l2与抛物线C2的交点为C,D,-31-,当两直线的斜率分别为1和-1时,四边形的面积最小,最小值为96.,-32-,解题心得解析几何中常用的化简策略根号内开不出,便把根号外的项往根号里面拿.使用换元法后,注意新变量的取值范围.,-33-,对点训练5已知抛物线E:y2=2px(p0)的准线与x轴交于点K,过点K作圆C:(x-5)2+y2=9的两条切线,切点为M,N,|MN|=3 . (1)求抛物线E的方程; (2)设A,B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且 (其中O为坐标原点). 求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标; 过点Q作AB的垂线与抛物线交于G,D两点,求四边形AGBD面积的最小值.,-34-,-35-,故Smin=88,当且仅当m=±1时取到最小值88.,-36-,解析几何化简中的双参数问题 解题策略 参数法 例6已知椭圆C: (ab0)的四个顶点是一边长为2,一内角为60°的菱形的四个顶点. (1)求椭圆C的方程; (2)如果直线y=kx(k0)交椭圆C于不同的两点E,F,证明:点Q(1,0)始终在以EF为直径的圆内;,-37-,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为显然直线AB有斜率,-38-,因直线l:y=mx+t(m0),-39-,解题心得第一步,走解题程序:直线l与曲线C交于A,B两点,设方程联立方程组整理化简两根之和、两根之积、根的判别式. 第二步,与条件对接:与条件等式对接的转化形式为:将条件等式转化为关于x1,x2的表达式或关于y1,y2的表达式,然后,解出两个参数之间的关系式,将双参数问题转换成一个参数的问题,然后用函数的方法处理.,-40-,对点训练6已知椭圆C: (ab0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+ =0与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆C的方程; (2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点,-41-,(2)若直线AB的斜率不存在,设方程为x=x0, 则点A(x0,y0),B(x0,-y0).,-42-,